Compondo equações quadráticas

---

A equação do segundo grau cujas raízes x₁ e x₂ satisfazem às condições
2x₁ + 3(x₂ – 4x₁) – 10 = 0 e 4x₁ + 3x₂ – 12 = 0 é:
a)  147x² – 581x + 80 = 0
b)  147x² + 581x – 80 = 0
c)  149x² – 567x + 80 = 0
d)  149x² – 567x – 80 = 0
e)  741x² – 756x + 18 = 0

Solução:

Neste tipo de problema, devemos partir da forma (S,P) da equação do segundo grau, ou seja: 
x² – Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes e P o produto das raízes, ou seja:

x₁ + x₂ = S e x₁ . x₂ = P.

Portanto, desenvolvendo as igualdades do enunciado, vem:
2x₁ + 3(x₂ – 4x₁) – 10 = 0 \ 2x₁ + 3x₂ – 12x₁ – 10 = 0
Reduzindo os termos semelhantes para simplificar, fica:
3x₂ – 10x₁ – 10 = 0 Þ 3x₂ – 10 x₁ = 10

Analogamente,
4x₁ + 3x₂ – 12 = 0 \ 4x₁ + 3x₂ = 12

Temos então, o seguinte sistema de equações do primeiro grau:
– 10 x₁ + 3x₂ = 10
4x₁ + 3x₂ = 12

Vejam que tranquilidade: os termos em x₂ podem ser eliminados apenas subtraindo uma equação da outra, uma propriedade válida, uma vez que se

A = B
e
C = D
então
A – C = B – D.

Portanto, subtraindo membro a membro as igualdades acima, fica:
– 10x₁ – 4x₁ + 3x₂ – 3x₂ = 10 – 12
–14x₁ = -2 \ x₁ = -2 / -14 = 2/14 = 1/7

Ora, sendo x₁ = 1/7, substituindo este valor em qualquer das duas equações do sistema acima, vem:
4(1/7) + 3x₂ = 12 \ 4/7 + 3x₂ = 12 \ 
3x₂ = 12 – 4/7 = 84/7 – 4/7 = (84-4)/7 = 80/7 de onde vem x₂ = 80 / 21.

Logo, x₁ = 1/7 e x₂ = 80/21

Ora, como a equação procurada é da forma x² – Sx + P = 0 e
S = x₁ + x₂ e P = x₁ . x₂ teremos:
S = 1/7 + 80/21 = 3/21 + 80/21 = 83/21
P = (1/7).(80/21) = (1.80) / (7.21) = 80/147
Então, a equação procurada será: x² – (83 / 21)x + (80 / 147) = 0
Para eliminar os denominadores 21 e 147, vamos multiplicar ambos os membros da equação acima por 147, pois 147 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 21 e 147. 
MMC(21,147) = 147.
Fica então:
147x² –147.(83x / 21) + 147(80 / 147) = 0
Efetuando as operações indicadas, vem:
147x² – 581x + 80 = 0

Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

Agora resolva esta:

Escreva uma equação do segundo grau cujas raízes x₁ e x₂ satisfazem às condições
2x₁ – 3x₂ – 3(x₁ – x₂) – 14 = 0 e 4x₁ – 6(x₁ – 2x₂) – 52 = 0.
Resposta: x² +12x – 28 = 0
Paulo Marques, 25 de outubro de 2003 - Feira de Santana - BA - VOLTAR