Forma (S,P) de uma equação do segundo grau

Seja a equação ax²+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a ¹ 0, vem:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0
Sendo x₁ e x₂ as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes.

Ora, poderemos escrever então:
S = -b / a Þ -S = b/a
Substituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente:
x² – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.

Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.

Exemplos:

a) x² – 5x + 6 = 0
Soma das raízes = S = 5
Produto das raízes = P = 6
Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.

b) x² – x – 12 = 0
S = 1 e P = -12
Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são 4 e –3 , que são as raízes da equação.

c) x² +3x - 4 = 0
S = - 3 e P = -4
Os números que somados dá –3 e multiplicados dá –4 são –4 e 1, que são as raízes da equação.

d) x² + x - 999000 = 0
S = -1 e P = -999000
Verifique mentalmente que as raízes são -1000 e 999.
A solução pela fórmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam?

e) x² – (1+Ö 3)x + Ö 3 = 0
Verifique mentalmente que as raízes são 1 e Ö 3.

Com a prática, você será capaz de resolver muitas equações do 2º grau, sem o uso da fórmula de Bhaskara, com o uso do método acima.

Nota: a fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII – é dada por:
x = (-b ± ÖD) / 2a onde D = b² – 4ac (D : é conhecido como discriminante da equação).
Esta fórmula – atribuída a Bhaskara – resolve a equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, com a ¹ 0.
Observe que se D = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se D > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas entre si; se D < 0, a equação não possui raízes reais.

Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x² – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.
Exemplo: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?
Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780
Logo, a equação é: x² – 88x + 780 = 0.

Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?
Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400
Logo, a equação procurada é x² - 96x – 400 = 0.

Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?
Temos: S = w –1 + w + 1 = 2w
P = (w –1)(w+1) = w²-1
Logo, a equação procurada é:
x² – 2wx + w² – 1 = 0.

Agora resolva mentalmente a equação x² + 100x – 60000 = 0
Resposta: as raízes são -300 e 200.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 20/11/2000.

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