Matemática do Científico e do Vestibular

Múltiplos e divisores naturais

1 – Múltiplo e divisor de um número natural

Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m : n não deixa resto, ou seja, a divisão é exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor de m e m é um múltiplo de n.

Exemplos:

2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16 é múltiplo de 2.

5 divide 35 ou seja, 5|35 porque 35:5 = 7 e resto = zero. Portanto, 5 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de 5.

7 divide 105 ou seja, 7|105 porque 105:7 = 15 e resto = zero.
Portanto, 7 é divisor de 105 e 105 é múltiplo de 7.

Notas:

a) O conjunto dos divisores naturais de n será representado por D(n).

Exemplos:

D(3) = {1,3}
D(20) = {1,2,4,5,10,20}
D(6) = {1,2,3,6}

b) O conjunto dos múltiplos naturais de n será representado por M(n).

Exemplos:

M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...}
M(5) = {0,5,10,15, ...}

c) Os múltiplos de 2 são denominados números pares. Os demais números naturais são denominados números ímpares. Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares, poderemos escrever:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }
I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... }
Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.

Propriedades imediatas:

P1) A unidade (ou seja, o número 1) divide qualquer número natural ou seja, 1|n, para todo n natural.

P2) Zero não divide nenhum número natural, ou seja, não existe divisão por zero. Imagine se você tivesse que dividir dez objetos por zero pessoas. Claro que isto não seria possível. Grave bem isto: a divisão por zero não existe.

P3) Todo número natural diferente de zero, divide o número zero, ou seja, para
n ¹ 0, n | 0, para todo n não nulo.

P4) Todo número natural diferente de zero, divide a si próprio, ou seja, para n ¹ 0, n | n para todo n não nulo. Esta propriedade é conhecida como propriedade reflexiva.

P5) Sendo m, n e p três números naturais, se m | p e p | n então m | n. Esta propriedade é conhecida com propriedade transitiva.

Exemplo:

2 divide 6 pois 6 : 2 = 3 (divisão exata).
6 divide 42 pois 42 : 6 = 7 (divisão exata). Logo, 2 divide 42. Realmente, 42 :2 = 21 (divisão exata).

P6) Todo número natural não nulo, é múltiplo de si mesmo. Isto decorre da propriedade P4.

P7) Zero é múltiplo de todo número natural não nulo. Isto decorre da propriedade P3.

2 – Número primo e número composto

Dizemos que um número natural p diferente de um ( p ¹ 1) é primo quando ele só possui dois divisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é composto.

Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual a
D(p) = {1, p}, p é um número primo.
Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo. Portanto, 2 é o único número natural primo que é par.
Sendo Ã o conjunto dos números primos, poderemos escrever:
Ã = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , }
O conjunto dos números primos é infinito.

Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Isto é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética – TFA.

Exemplos:

12 = 3.2.2
15 = 3.5
49 = 7.7
105 = 7.5.3
240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.2⁴.3

Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2
120 |2
60 |2
30 |2
15 |3
     5|5
     1|

Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5

A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação.

Usando o dispositivo prático acima, vamos fatorar o número 408.

Teremos:

408 |2
204 |2
102 |2
51 |3
17 |17
    1 |

Então: 408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17

3 – MDC – Máximo divisor comum

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum – MDC, como sendo o maior natural que divide simultaneamente a e b.

O MDC de dois números será indicado por (a, b).

Óbvio que se tivermos o MDC de n números naturais a₁, a₂, a₃, ... , a_n , indicaremos por
(a₁, a₂, a₃, ... , a_n)

Exemplos:

Determine o MDC dos naturais 10 e 14, ou seja, determine (10, 14).

Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10.
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14.
Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.

Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: (10, 14) = 2.

Pode-se indicar também como: MDC(10,14) = 2. Preferimos a primeira forma, por ser mais sintética.

Determine (4, 10, 14, 60), ou seja, o MDC dos números naturais 4,10,14 e 60.

Os divisores positivos de 4   são: 1, 2, 4
Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10
Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14
Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60

Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.

Portanto o MDC é igual a 2, ou seja: (4, 10, 14, 60) = 2

O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do MDC de dois números naturais não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de (a,b).

Assim, seja calcular o MDC de 408 e 240.

Como já vimos acima, temos:

408 = 2.2.2.3.17 = 2³.3.17
240 = 2.2.2.2.3.5 = 2⁴.3.5

Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:

(408, 240) = 2³.3 = 8.3 = 24 , que é o MDC procurado.

Portanto, (408, 240) = 24.

O MDC do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

             1       1     2    3

408 | 240 | 168 | 72 | 24

168 |    72|    24|    0

Para entender o dispositivo prático acima, basta observar que:

408:240 = 1 com resto 168
240:168 = 1 com resto   72
168:72   = 2 com resto   24
72:24     = 3 com resto zero.

Portanto o MDC procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes.

Nota: Se o MDC de dois números naturais a e b for igual à unidade, ou seja,
(a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos.

Ou seja:

(a, b) = 1 Û a e b são primos entre si (co-primos).

Exemplo: (7, 5) = 1 \ 5 e 7 são primos entre si.

4 – MMC – Mínimo múltiplo comum

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o mínimo múltiplo comum – MMC, indicado por <a,b> , como sendo o menor natural positivo, múltiplo comum de a e b.

Exemplo: Determine o MMC dos naturais 10 e 14.

Os múltiplo positivos de 10 são: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, ...
Os múltiplos positivos de 14 são: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140, ...
Portanto, o mínimo múltiplo comum é igual a 70 e, indicamos: <10,14> = 70.

Pode-se indicar também como MMC(10,14) = 70.

Aqui, também, preferimos a primeira forma, por ser mais sintética.

Dos exemplos anteriores, vimos que: (10,14) = 2 e <10,14> = 70. Observe que:

10.14 = 2.70 = 140 = (10,14).<10,14> = MDC(10,14) . MMC(10,14)

Pode-se provar que, dados dois números naturais positivos a e b, teremos sempre que o produto desses números é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números, ou seja:

(a,b) . <a,b> = MDC(a,b) . MMC(a,b) = a . b

Observe que se dois números naturais positivos a e b são primos entre si
(co-primos), o MDC entre eles é igual a 1, ou seja (a, b) = 1 e, portanto, teremos:

1.<a,b> = a . b \ <a, b> = a . b , ou seja: O Mínimo Múltiplo Comum – MMC de dois números primos entre si é igual ao produto deles.

Exemplos:

<3, 5> = 3.5 = 15
<7, 5, 3> = 7.5.3 = 105

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 22/12/2001.

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