Idade

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a minha idade, juntos teremos 72 anos. Qual a minha idade ?

Solução:

A resolução deste tipo de problema se baseia no que eu chamo de princípio da invariância das idades, ou seja, a diferença entre as idades de duas pessoas permanece constante ou seja, invariante, ao longo do tempo.

Sejam:

Eh = minha idade hoje (eu hoje)
Vh = sua idade hoje (você hoje)
n = diferença das idades

Vamos equacionar o problema, utilizando os dados apresentados:

Equação 1) 2(Vh – n) = Eh
Equação 2) Eh – n = Vh
Equação 3) Vh + n + Eh + n = 72

Justificativa para as igualdades acima:

Quando você tinha (Vh – n) anos, eu tinha (Eh – n) anos.
A partir de hoje, quando você tiver (Vh + n) anos, eu terei (Eh + n) anos.

Agora que o problema está equacionado, basta resolver o sistema de equações acima.
Vamos à solução:

2(Vh – n) = Eh
Eh – n = Vh
Vh + n + Eh + n = 72

2Vh – 2n = Eh
Eh – n = Vh
Vh + 2n + Eh = 72

Arrumando convenientemente, fica:

2Vh – 2n – Eh = 0
Eh – n – Vh = 0
Vh + 2n + Eh = 72

Observe que temos um sistema de equações lineares com 3 equações e 3 incógnitas.

Podemos resolver o sistema aplicando a Regra de Cramer ou o método do escalonamento. 
Vamos entretanto resolvê-lo pelo método da substituição, para variar um pouco.

Tirando o valor de n da segunda equação, fica:
Eh – Vh = n
Substituindo na primeira, vem:
2Vh – 2(Eh – Vh) – Eh = 0
2Vh – 2Eh + 2Vh – Eh = 0
4Vh – 3Eh = 0

Substituindo na terceira, vem:
Vh + 2n + Eh = 72
Vh + 2(Eh – Vh) + Eh = 72
Vh + 2Eh – 2Vh + Eh = 72
3Eh – Vh = 72

Temos então as duas equações:
4Vh – 3Eh = 0
3Eh – Vh = 72
Como o problema pede calcular a minha idade, ou seja Eh (eu hoje), teremos:
Tirando o valor de Vh da segunda equação acima, vem:
3Eh – 72 = Vh
Substituindo na primeira equação acima, vem:
4(3Eh – 72) – 3Eh = 0
12Eh – 288 – 3Eh = 0
9Eh – 288 = 0
9Eh = 288
Eh = 288 / 9 = 32

Logo, a minha idade é 32 anos.

Agora resolva este:
Qual a diferença entre nossas idades?
Resposta: 8 anos
Nota: basta calcular o valor de n no sistema encontrado anteriormente.

 Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 24 de junho de 2003 - editado em 02/07/2011.

Outro problema de idade

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