Sistemas Lineares IV

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
....................................................= ...
....................................................= ...
a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + ... + a_nnx_n = b_n

onde os coeficientes a₁₁, a₁₂, ..., a_nn são números reais ou complexos, os termos independentes
b₁, b₂, ... , b_n , são números reais ou complexos e x₁, x₂, ... , x_n são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja D x_i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita 
x_i ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b₁, b₂, ... , b_n.

A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D x_i, ou seja:
x_i = D x_i / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x₁ = D x₁ / D = 120 / 24 = 5
x₂ = D x₂ / D = 48 / 24 = 2
x₃ = D x₃ / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x + y + z = 5

Resposta: S = { (-1, 2, 4) }

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 07/09/1999.

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