A = {x; x é vogal do alfabeto latino} = {a, e, i, o, u}
B = {x; x é um satélite natural da Terra} = {Lua}
C = {x; x é uma estrela que permite a existência de vida na Terra} = {Sol}
D = {x; x é o planeta no qual vivemos} = {Terra}
E = {x; x é um número inteiro maior do que 7} = {8, 9, 10, 11, ... , 205, 206, ... }
Se a propriedade que define os elementos x for contraditória, os elementos não existirão e, diremos, por extensão, que temos um conjunto sem elementos, o qual é denominado conjunto vazio, representado pelo símbolo Æ .
Nota: Æ é a letra fi do alfabeto grego.
Assim, poderemos exemplificar:
Æ = {x; x é diferente de x}
Æ = {x; x é um osso de borboleta}
Æ = {x; x é uma asa de elefante}
Æ = {x; x é um mês de 32 dias}
Æ = {x; x é um número racional e irracional}
É válido afirmar que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto dado, ou seja: " A, Æ Ì A ,
que se lê: qualquer que seja o conjunto A, o conjunto vazio está contido em A (ou é subconjunto de A).
Isto
pode ser demonstrado como segue:
Suponhamos que Æ
Ë
A, ou seja, que o conjunto vazio não seja subconjunto de um
dado conjunto A. Se isto fosse verdadeiro, então deveria
existir pelo menos um elemento no conjunto Æ
, que não pertenceria ao conjunto A. Ora, isto é um
absurdo, pois já sabemos que o conjunto vazio não
possui elementos. Então, a afirmativa Æ
Ë
A é FALSA , o que nos leva a concluir que Æ
Ì
A é VERDADEIRA.
Algumas
observações sobre o conjunto vazio:
1 –
O cardinal de Æ
é igual a zero, ou seja, o número de elementos do
conjunto vazio é zero.
2 – O conjunto vazio é
subconjunto de si próprio, ou seja, Æ
Ì
Æ
.
3 – Não confunda o conjunto vazio Æ
, com o conjunto unitário {Æ},
cujo único elemento é o conjunto vazio, ou seja: Æ
= {Æ}
é FALSO.
O
correto seria escrever uma das seguintes condições,
ambas verdadeiras:
Æ
Ì
{Æ}
ou Æ
Î
{Æ}
. A primeira afirmação é verdadeira, pois o
conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto e a segunda é
verdadeira, pois o conjunto {Æ}
realmente possui o Æ
como elemento e, portanto, é correto também afirmar que
Æ
pertence a {Æ},
indicado simbolicamente por Æ
Î
{Æ}.
4
– Não confunda o conjunto vazio Æ
com o conjunto unitário {0}, cujo único elemento é
o zero.
Portanto, Æ
= {0} é FALSO. O
correto seria escrever Æ
Ì
{0}.
Exercício resolvido:
UFBA 73
– O conjunto dos valores de n para os quais a inequação
nx2
– 2(n+1)x + n + 1 > 0 se verifica qualquer que seja x Î
R, é:
A) {n Î
R; n > -1}
B) {n Î
R; n < 0}
C) {n Î
R; -1 < n < 0}
D) Æ
E)
nenhuma das respostas anteriores
Solução:
Uma condição para que a função
quadrática do primeiro membro da expressão dada
seja sempre positiva é expressada na figura seguinte, onde
está representada uma função quadrática
do tipo y = ax2 + bx + c :
Deveremos
então ter as seguintes condições, para
satisfazer ao enunciado da questão:
1) n >
0
2) D
< 0
Se necessário, revise Funções.
Portanto,
como D
= b2 – 4ac, vem, substituindo:
[-2(n+1)]2
– 4.n.(n+1) < 0
Desenvolvendo
o primeiro membro da expressão acima, fica:
4(n+1)2
– 4n(n+1) < 0
4(n2 + 2n + 1) – 4n2
– 4n < 0
4n2 + 8n + 4 – 4n2 –
4n < 0
Simplificando, vem:
4n + 4 < 0
4n < - 4
n
< - 1
Ora, deveremos ter n < -1 e, pela primeira
condição, n deve ser maior do que zero, ou seja: n >
0. Vemos, pois, que estas condições são
contraditórias, ou seja, um número não pode ao
mesmo tempo, ser maior do que zero e menor do que –1. Logo,
concluímos que o conjunto das soluções para o
valor de n no problema proposto é um conjunto sem elementos e,
portanto, é o conjunto vazio Æ
. A alternativa correta é então
a de letra D.
Exercício
proposto
PUC – SP – Se A = Æ
e B = {Æ}
então é correto afirmar:
A) A Î
B
B) A U B = Æ
C) A = B
D) A – B = B
E) B Ì
A
Resposta: Pelo que foi visto anteriormente, concluímos
facilmente que a única alternativa verdadeira é a de
letra A.
Paulo
Marques,
21 de abril de 2002 – Feira de Santana - BA