I – Introdução
Sendo
a e
b dois números inteiros, com a condição de b não
nulo, chama-se número racional ao quociente
a / b .
Assim, são exemplos de números
racionais:
2/3,
-3/5, 87/95, ... , etc
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q
. O uso da letra Q
deriva da palavra inglesa quotient , que
significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um
quociente de dois números inteiros.
Como todo número inteiro a pode ser escrito na forma
a
/ 1 = a , concluímos que todo número
inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o
conjunto dos números inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto
dos números racionais, ou seja: Z
Ì Q .
Os números racionais
podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na
forma i,d
onde i
é a parte inteira e d
a parte decimal.
Por exemplo,
4/5 = 0,8 ; 3/5 = 0,6 ;
2/3 = 0,6666... ;
20/3 = 6,3333... ; etc
Observe que todas as dízimas periódicas
(também conhecidas como números decimais periódicos)
são números racionais, uma vez que elas podem ser escritas
na forma a / b
com b ¹
0.
Exemplos:
1 – Escreva na forma a /
b o número racional r =
1,25252525...
Sendo
r = 1,252525... , multiplicando ambos os membros por 100, teremos:
100.r = 125,252525...
Subtraindo estas
igualdades membro a membro, fica:
100r – r = 125,252525...
– 1,252525... , de onde tiramos:
99.r = 124 , e, portanto, r
= 124 / 99.
2 – Escreva na forma a / b a dízima
periódica s = 2,0353535...
Sendo s = 2,0353535... ,
multiplicando ambos os membros por 10, teremos:
10.s = 20,353535...
Multiplicando ambos os
membros da igualdade anterior por
100, teremos:
100.10s = 100.20,353535...
1000.s = 2035,353535...
Subtraindo membro a membro
a segunda da primeira igualdade, vem:
1000.s – 10.s =
2035,353535... -
20,353535...
990.s = 2015, e, portanto, s
= 2015 / 990
Quando o número racional está representado na forma a / b onde a e
b são inteiros, com b não nulo, costumamos denominar
a de numerador
e b
de denominador, sendo o número a
/ b conhecido como fração ordinária.
Propriedade
fundamental das frações:
Uma fração ordinária não
se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um mesmo número
diferente de zero.
Assim é que:
a
/ b = a . n / b . n
para n
diferente de zero.
Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ... , etc
Notas:
1 – Se o denominador de uma fração ordinária for igual a 10 (ou a uma potencia de dez), ela é conhecida como
fração decimal.
Exemplos:
3 / 10; 625 / 1000.
2 – Um número racional da forma a
/ 100
é conhecido como porcentagem e indicado simbolicamente por a % .
Exemplos:
a) 25 / 100 = 25 %
b) 75 / 100 = 75 %
c) 1 / 100 = 1 %
Usando uma terminologia comumente aceita, se a
< b, dizemos que a fração é própria
e se a
> b , dizemos que a fração é imprópria.
Se a for um múltiplo de b, a fração a / b será um número inteiro e a fração é dita aparente.
Assim, por exemplo, 5 / 7 é uma fração própria, 9 / 5 é uma fração imprópria e
10 / 5 = 2 é uma fração aparente. Saliente-se que trata-se apenas de uma
terminologia consagrada pelo uso, sem nenhum sentido prático e, eu diria,
talvez até inútil.
É importante acrescentar que o conjuntos dos números racionais é denso
e infinito, ou seja, dados dois números racionais
r1
e r2,
sempre existirá um número racional r
tal que r1
< r < r2 .
Por exemplo, entre os números
inteiros 7 e 8 não existe nenhum outro número inteiro, porém existe um número
infinito de números racionais entre eles. 7,1; 7,9; 7,0045;
7,999; .. etc são apenas alguns dos infinitos exemplos possíveis.
II
– Operações com números racionais
a) Adição e
subtração
Sejam os números racionais a
/ b
e c
/ d
onde a,
b, c e d são números inteiros com b
e d
diferentes de zero.
A soma e a subtração destes números
racionais, obedecem à seguinte regra:
(a / b) ±
(c / d) = (ad ± bc) / (bd)
Observe que se os denominadores
b
e d
forem iguais, a igualdade acima
se reduz a:
(a
/ b) ±
(c / b) = (a ± c) / b
que é um caso particular da expressão geral.
Ou seja: para
somar duas frações de mesmo denominador, adicionam-se os numeradores e mantém-se
o denominador comum.
Exemplos:
a) (2 / 5) - (1 / 5) = (2 - 1) / 5 = 1 / 5
b) (4 / 3) + (8 / 3) = (4 + 8) / 3 = 12 / 3 = 4
c) (2 / 5) + (3 / 4) = (2 . 4 + 5 . 3) / (5 . 4) = 23 / 20
d) (5 / 3) – (3 / 4) = (5 . 4 – 3 . 3) / (3 . 4) = 11 / 12
b)
Multiplicação
Sejam os números racionais
a / b
e c / d
onde a,
b, c
e d
são números inteiros com b
e d
diferentes de zero.
A multiplicação obedece à seguinte
regra geral:
(a / b) . (c /
d) = (a . c) / (b . d)
Ou seja, para multiplicar duas frações, multiplicamos entre si, os
numeradores e os denominadores.
Exemplos:
a) (2 / 3) . (5 / 7) = (2 . 5) / (3 . 7) = 10 / 21
b) (3 / 4) . (7 / 6) = (3 . 7) / (4 . 6) = 21 / 24
Observe que a fração 21
/ 24, pode ser simplificada, dividindo-se numerador e
denominador por 3, resultando 7 /
8.
c) Divisão
Sejam os números racionais a
/ b
e c
/ d
onde a,
b, c e d são números inteiros com b
e d
diferentes de zero.
A divisão obedece à seguinte regra
geral:
(a / b) : (c /
d) = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c)
A regra é então comumente enunciada como: para dividir uma fração
por outra, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.
Justificativa:
Seja a fração F = (a
/ b) : (c / d)
Pela propriedade fundamental das frações, vista no início do texto,
poderemos multiplicar o numerador
e denominador por (d / c), resultando:
F = (a / b) . (d / c) :
(c / d) . (d / c)
Simplificando a expressão acima, lembrando que (c / d) . (d / c) = 1, vem,
finalmente que F = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c), conforme indicado na
fórmula acima.
Exemplos:
a) (2 / 3) : (4 / 5) = (2 /3) . (5 / 4) = (2 . 5) / (3 . 4) = 10
/ 12 = 5 / 6.
b) (3
/ 7) : (2 / 9) = (3 / 7) . (9 / 2) = (3 . 9) / (7 . 2) = 27 / 14
d)
Potenciação
(a / b)n
= an / bn
para b
diferente de zero.
Exemplo: (2 / 5)3 = 23 / 53
= 8 / 125
III - Exercícios
1 – Calcule 3/5 de 60.
Solução: 3/5 de 60 = (3/5) . 60 = (3 . 60) / 5 = 180
/ 5 = 36.
2 – Calcule 3/5 de 2/3.
Solução: 3/5 de 2/3 = (3/5) . (2/3) = (3.2) / (3.5) =
6 / 15 = 2 / 5.
3 – Calcule 2/5 dos 3/4 de 40.
Solução: 2/5 dos 3/4 de 40 = (2/5).(3/4) . 40 = (2.3.40) / (5.4) = 240 / 20 = 12.
4 – Calcule 30 % de 70.
Solução: 30 % de 70 = (30 / 100) . 70 = (30.70) / 100
= 2100 / 100 = 21.
5 – Calcule 15 % de 60 %.
Solução: 15 % de 60 % = (15/100) . (60 / 100) =
(15.60) / (100.100) = 900 / 10000. Mas, 900 / 10000 = 9 / 100 = 9
% .
6 – Calcule 3/2 dos 0,121212 ... de 33 %
de 2400.
Resposta:
144
Paulo Marques,
Feira de Santana – BA – 17 de março de 2002.