Investimento em renda fixa - Caderneta de Poupança

I - Li na seção de Economia de um jornal, que no período 31/12/2002 a 30/4/2010, a caderneta de poupança rendeu 80,89%.
 
II - No mesmo período, a inflação medida pelo IPCA foi igual a 51,86%.
 
Nestas condições, pede-se calcular:

1) o ganho real do investidor no período indicado.
2) o ganho real do investidor no mesmo período, se a inflação tivesse sido igual a 20%.

Solução:

Nota: IPCA - Índice de Preço ao Consumidor Amplo - inflação associada à cesta de consumo de famílias com renda de 1 a 40 salários mínimos.

Vamos deduzir inicialmente uma fórmula para a solução genérica do problema:

Suponha que um capital P foi aplicado na caderneta de poupança durante um determinado período de tempo; sejam Ip  o índice de variação da caderneta de poupança e Ii  a taxa de inflação relativas ao mesmo período de tempo. Já sabemos que se um capital P for aplicado no regime de juros compostos por n períodos a uma taxa i, resultará num montante P' = P(1 + i)ⁿ . 

Teremos então, para n = 1 período:
 
O valor corrigido pelo índice de poupança ao final do período será igual a P' = P(1 + Ip)¹ = P(1 + Ip).
O valor corrigido pelo índice de inflação ao final do mesmo período será igual a P'' = P(1 + Ii)¹ = P(1 + Ii).
Nota: o valor corrigido pela inflação é comumente conhecido como correção monetária.

Nestas condições, o ganho real da aplicação será igual a: Gr = P' - P'' = P(1 + Ip) - P(1 + Ii) 

Para calcular o ganho real percentual, teremos que dividir o valor Gr acima, pelo valor corrigido pela inflação ou seja:

Gr = [P(1 + Ip) - P(1 + Ii)] / P(1 + Ii) = P[(1 + Ip) - (1 + Ii)] / P(1 + Ii)

Cancelando o fator comum P e simplificando, vem finalmente:

Gr = (Ip - Ii) ÷ (1 + Ii) que é a fórmula procurada, ou seja: basta dividir a diferença (Ip - Ii) por (1 + Ii), com Ip e Ii expressos na forma decimal.

Então vamos aplicar a fórmula acima para resolver as questões formuladas:

1) Ganho real do investidor 

Taxa de inflação = 51,86% = 51,86/100 = 0,5186
Taxa da poupança = 80,89% = 80,89/100 = 0,8089

Então, o ganho real será igual a Gr = (0,8089 - 0,5186) / (1 + 0,5186) = 0,2903/1,5186 = 0,1912 = 19,12%.

Veja então que apesar da poupança ter rendido 80,89% no período, o ganho real do aplicador foi somente de 19,12%, devido ao efeito da inflação. Este valor 80,89% seria então uma taxa aparente enquanto que 19,12% seria a taxa real.

2) E se a inflação do período tivesse sido igual a 20%, qual teria sido o ganho real?

Analogamente, teríamos:

Taxa de inflação = 20% = 20/100 = 0,20
Taxa da poupança = 80,89% = 80,89/100 = 0,8089

Então, o novo ganho real seria: Gr = (0,8089 - 0,20) / (1 + 0,20) = 0,6089/1,20 = 0,5074 = 50,74%

Perceba que com a redução da inflação, o ganho real pulou, neste caso, de 19,12% para 50,74%, mostrando o efeito corrosivo e nefasto do processo inflacionário.

Para ver o conceito elementar de INFLAÇÃO clique no link.

Agora resolva este:

Se num determinado ano a inflação foi de 4% e a caderneta de poupança rendeu 6%, qual o ganho real da poupança?
Resposta: 1,92 %.

Apenas a título ilustrativo, se a inflação no período tivesse sido de 8%, teríamos:
Gr = (0,06 - 0,08) / (1 + 0,08) = -0,0185 = -1,85% . Observe que neste caso não houve ganho e sim uma perda real de 1,85%. 
Este é o significado do resultado negativo.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 22 de setembro de 2010. Editado e ampliado em 09/10/2010.

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