Noções de Matemática Financeira IV

JUROS COMPOSTOS

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. É também conhecido como "juros sobre juros".
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:
Suponha que R$100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é exponencial, e portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) R$1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M₁ = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M₂ = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)²
Após o 3º mês, teremos: M₃ = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)³

.....................................................................................................

Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente:

S = 1000(1 + 0,1)ⁿ

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n :

S = P (1 + i)ⁿ

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

Exercícios Resolvidos:

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução:
Temos S = P(1+i)ⁿ
Logo, S/P = (1+i)ⁿ
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
n = log _{(1+ i )} (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

Temos também da expressão acima que:

n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.

2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução:
Sabemos que S = P (1 + i)ⁿ . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:
2P = P(1+0,02)ⁿ [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica:
2 = 1,02ⁿ , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então:
n = log_1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios propostos:

1 – Um capital de R$200000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.
Resposta: R$292820,00

2 – Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado?
Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.
Observe que
9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses).
Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 19 de julho de 2000 - revisado e ampliado em 12/02/2008.

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