Noções de Matemática Financeira II
Juros Simples
Vimos na aula anterior que o juro é a remuneração de um capital aplicado a uma certa taxa, durante um determinado período, ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do crédito.
No regime de juros simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é muito utilizado na prática das operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma,bastante interessante.
A título introdutório, vejamos o seguinte exemplo:
Considere que R$100,00 são aplicados à taxa de juros simples de 1% ao mês, durante 3 meses; teríamos neste caso:
Juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1 = 100.(1/100) . 1 = R$1,00
Juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2 = 100.(1/100) . 2 = R$2,00
Juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 = 100.(1/100) . 3 = R$3,00
Notas:
(a) observe que os juros - neste caso de juros simples - são calculados sempre em relação ao capital inicial de R$100,00.
(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
Então, se um capital inicial P for aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos e lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial P, podemos escrever:
J = P. i . n
onde J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período, igual a i.No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial, adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado montante (M). Logo, teremos:
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto, M = P(1+ in)
Nota: em ambas as fórmulas J = Pin e M = P(1 + in), o número de períodos n e taxa i devem ser expressas em relação ao mesmo intervalo de tempo; assim, se n for expresso em meses, a taxa i deverá ser expressa em % ao mês (% a.m); se n for expresso em semestres, a taxa i deverá ser expressa em % ao semestre (% a.s), etc.
Exemplos:
1 - A quantia de R$3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05.60) = 3000(1+3) = 12000
Resposta: R$12000,00
2 - Determine o montante produzido por um capital de R$3000,00 aplicado por 1 mês e dez dias, à taxa de 6% a.b.
Solução:
Temos: P = 3000, i = 6% a.b(ao bimestre) e n = 1 mês e dez dias. Teremos que expressar n e i na mesma unidade de tempo.
Vamos referir tudo ao intervalo de tempo em dias, lembrando que nos cálculos comerciais, considera-se 1 mês = 30 dias:
a) 1 bimestre = 2 meses = 2.30 = 60 dias.
b) 6% a.b = 6% em 60 dias = 6% / 60 = (0,06/60) a.d (ao dia).
c) 1 mês e 10 dias = 30 + 10 = 40 dias
Agora que está tudo expresso em relação ao mesmo intervalo de tempo, basta aplicar diretamente a fórmula M = P(1 + in), ou seja:
M = 3000(1 + (0,06/60).40) = 3000(1 + 0,04) = 3000.1,04 = 3120
Resposta: R$3120,00
3 - Fiscal-MS-2000) Um banco oferece a seus clientes um tipo de aplicação financeira com as seguintes características:
Prazo: 4 meses;
Remuneração: juros simples à taxa de 1,5% ao mês;
Imposto de renda: 20% do juro, pago no final da aplicação.
Um cliente pagou R$36,00 de imposto de renda. Seu montante líquido (após o pagamento do imposto de renda) foi:
A) R$3168,00
B) R$3156,00
C) R$3144,00
D) R$3132,00
Solução:
Temos: i = 1,5 % a.m
Imposto de renda = R$36,00 = 20% dos juros
Pelo enunciado, o cliente pagou 20% do juro, relativo ao imposto de renda = R$36,00. Logo, j = 36/0,20 = 180. Portanto, os juros da aplicação foram de R$180,00. Como j = Pin, vem, substituindo: 180 = P.(1,5/100).4, de onde tiramos P = 3000.
Aplicando a fórmula do Montante, vem:
M = P(1 + in) = 3000(1 + (1,5/100).4) = 3000.1,06 = 3180
Mas, deste montante, R$36,00 foram pagos de imposto de renda; logo, o montante procurado é igual a 3180 - 36 = 3144, ou seja, R$3144,00 , o que nos leva tranquilamente à alternativa C.
4 - CEF - Técnico Bancário) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, produziu um montante equivalente a 7/5 do seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
A) 2%
B) 2,2%
C) 2,5%
D) 2,6%
E) 2,8 %
Solução:
Seja P o capital aplicado durante 1 ano e 4 meses = 12 + 4 = 16 meses, resultando no montante M = (7/5).P
Substituindo os valores conhecidos na fórmula de montante M = P(1 + in), vem:
(7/5).P = P(1 + i.16)
Simplificando, fica: 1,4 = 1 + 16i , de onde vem: 0,4 = 16i e finalmente, i = 0,4/16 = 0,025. Para expressar em porcentagem, basta multiplicar por 100 ou seja: i = 0,025.100 = 2,5% a.m , o que nos leva tranquilamente à alternativa C.
Exercícios propostos:
1 - Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre.
Resposta: R$46000,00
2 - Qual a taxa anual de juros simples de uma aplicação na qual um capital de R$2000,00 resultou num montante de R$3000,00 após 48 meses?
Resposta: 12,5% a.a
3 - Um investidor obteve um montante de R$3600,00 ao investir R$3000,00 à taxa semestral de juros simples de 36%, durante N dias. Determine o valor de N.
Resposta: N = 100 diasPaulo Marques, arquivo revisado e ampliado em 12/02/2008.