Triplicando seu dinheiro
UESC – 2002 – Questão discursiva para o curso de Ciências Contábeis
UESC – Universidade Estadual de Santa Cruz – Ilhéus - BA
Sabendo-se que log 3 @ 0,48 e log (1,03) @ 0,012, determine o tempo, em meses, que um capital aplicado à taxa de juros compostos de
3 % a. m. será triplicado.
Nota: @ (igual aproximadamente a)
Solução:
Sabemos que o valor futuro S de um capital inicial P aplicado por n períodos a uma taxa i é dado por:
S = P ( 1 + i ) n .
O problema fala claramente em triplicar o capital inicial P, ou seja, ao final do período, deveremos ter
S = 3.P .
Assim, fazendo S = 3P na fórmula acima, vem:
3P = P ( 1 + i ) n
Simplificando, fica: 3 = (1 + i) n
Substituindo o valor da taxa i que conforme o enunciado é igual a 3 % ao mês, ou seja 3/100 = 0,03 ao mês, teremos:
3 = (1 + 0,03) n = 1,03 n ou seja:
1,03n = 3
Ora, sabemos da teoria dos logaritmos que se 1,03n = 3 então n = log1,03 3, ou seja, n é o logaritmo de 3 na base 1,03.
Sabemos também que logbN = logN / logb onde log N e log b são os logaritmos decimais de N e b, ou seja, são os logaritmos de N e b na base 10. Assim, teremos, substituindo os valores dados no enunciado:
log 3 @ 0,48 e log (1,03) @ 0,012
n = log 1,03 3 = log 3 / log 1,03 = 0,48 / 0,012 = 0,480 / 0,012 = 480 / 12 = 40.
Portanto, o capital inicial será triplicado em 40 meses.
Observe que foram utilizados valores aproximados para os logaritmos decimais, seguindo orientação do enunciado da questão. Se utilizarmos valores mais aproximados para os logaritmos (com 5 casas decimais, por exemplo) :
log 3 = 0,47712 e log 1,03 = 0,01284 (utilize uma calculadora – a do Windows serve) e efetuando as contas , obteremos
n = 0,47712 / 0,01284 @ 37 meses.
Notas:
1 – os logaritmos dos números reais podem ser determinados através do uso das tábuas de logaritmos. As tábuas ou tabelas de logaritmos decimais constam dos compêndios de Matemática do segundo grau. Com o advento das calculadoras científicas, pouco ou nenhum uso se faz hoje em dia dessas tabelas, que simplificaram sobremaneira os cálculos numéricos numa época em que não existiam calculadoras de bolso nem computadores, no sentido que entendemos hoje.2 – os logaritmos foram inventados no início do século XVII, pelo esforço conjunto de grandes matemáticos, a exemplo de John Napier (escocês – 1550/1617), Jobst Bürgi (suíço – 1552/1632) e Henry Briggs (inglês – 1556/1631). A idéia original entretanto, coube a John Napier.
Paulo Marques – Feira de Santana – 02 de fevereiro de 2002.