Um problema bem simples

3/5 de um capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e, o restante a 15% ao ano, pelo mesmo período. Sabendo-se que estas aplicações renderam R$ 168,00 de juros no período, podemos afirmar que o capital aplicado foi igual a:

A) R$ 1200,00
B) R$ 1300,00
C) R$ 1400,00
D) R$ 1500,00
E) R$ 1600,00

Solução:  

Já sabemos que um capital P aplicado a uma taxa de juros simples  i  durante  n períodos, produz juros   j = Pin.

O grande detalhe a ser considerado na fórmula acima é que a taxa  i  e o período n têm necessariamente de serem expressos  em relação à mesma unidade de tempo. Assim é que se i estiver expresso em % ao mês, o período n deve também ser expresso em meses; se a taxa i estiver expressa em % ao ano, o período n deve também ser expresso em anos e assim sucessivamente.

No nosso caso,  vamos considerar que seja C o capital total aplicado.
Teremos então:

a) Seja J₁ o juro produzido pelos 3/5 do capital C aplicado a 18% ao ano durante 8 meses. 
Podemos escrever:

J₁ = (3/5)C.(0,18).(8/12)
Observe que 18% = 18/100 = 0,18  e  8 meses = (8/12) anos. Lembre-se que a taxa e o período devem ser expressos em relação à mesma unidade de tempo, no caso, em anos. Poderia também ser em meses, o que não alteraria a solução, pois neste caso teríamos:

J₁ = (3/5)C.(0,18/12).8, ou seja a taxa mensal de juros seria 0,18/12 e o período 8 meses. Veja que dá no mesmo.

b) Seja J₂ o juro produzido pelo capital restante, aplicado a 15% ao ano durante o mesmo período, ou seja, 
8 meses. Se foram aplicados inicialmente (3/5)C, o restante será (2/5)C pois 
(3/5)C + (2/5)C = (5/5)C = C.

Então, poderemos escrever, analogamente:

J₂ = (2/5)C.(0,15).(8/12)  

Sabemos que o total de juros produzidos é igual a R$ 168,00. Logo,

J₁ + J₂ = 168

Substituindo os valores de J₁ e J₂ acima, vem que:
(3/5)C.(0,18).(8/12) + (2/5)C.(0,15).(8/12) = 168

Basta resolver a equação acima para obter o valor de C.

Lembrando que 3/5 = 0,6   e  2/5 = 0,4, vem:

(0,6).(0,18).(8/12).C + (0,4).(0,15).(8/12).C = 168

(0,108).(8/12).C + (0,060).(8/12)C = 168

Colocando o termo comum (8/12)C em evidencia, fica:
(8/12)C(0,108 + 0,060) = 168
(8/12).C.(0,168) = 168
(8/12).C = 168/0,168 = 1000
(8/12).C = 1000
C = 1000 / (8/12) = 1000.(12/8) = 12000/8 = 1500.

Portanto, o capital aplicado foi igual a R$1500,00, o que nos leva tranqüilamente à alternativa D.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA , 27 de setembro de 2001.      CONTINUAR