Taxas equivalentes no regime de capitalização composta

Taxas equivalentes

São aquelas taxas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante S.
Se necessário, revise Juros Compostos.

Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual i_a .
O montante S ao final do período de 1 ano será igual a S = P(1 + i _a )
Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal i_m .
O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a S’ = P(1 + i_m)¹² .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter S = S’.

Portanto, P(1 + i _a ) = P(1 + i_m)¹²
Daí concluímos que
1 + i_a = (1 + i_m)¹²
Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhecida.

Exemplo:
Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m. ?

Ora, lembrando que 1% = 1/100 = 0,01 , vem:
1 + i_a = (1 + 0,01)¹² ou 1 + i_a = 1,01¹² = 1,1268 ( para obter 1,01¹²  use uma calculadora; a do Windows, serve).
Portanto, i_a = 1,1268 – 1 = 0,1268 = 12,68%

Observe portanto, que no regime de juros compostos, a taxa de juros de 1% a.m. equivale à taxa anual de 12,68% a.a. e não 12% a.a., como poderia parecer para os mais desavisados.

Podemos generalizar a conclusão vista no parágrafo anterior, conforme mostrado a seguir.

Seja:
i_a = taxa de juros anual
i_s = taxa de juros semestral
i_m = taxa de juros mensal
i_d = taxa de juros diária

As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas:
1 + i_m = (1 + i_d)³⁰ [porque 1 mês = 30 dias]
1 + i_a = (1 + i_m)¹² [porque 1 ano = 12 meses]
1 + i_a = (1 + i_s)² [porque 1 ano = 2 semestres]
1 + i_s = (1 + i_m)⁶ [porque 1 semestre = 6 meses]
todas elas baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equivalentes aplicadas a um mesmo capital, produzem montantes iguais.

Não é necessário memorizar as fórmulas.
Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se i_q = taxa de juro num quadrimestre, poderíamos por exemplo escrever:
1 + i_a = (1 + i_q)³ [porque 1 ano = 3 quadrimestres]. Perceberam?

Exercícios resolvidos e propostos

1 - Qual a taxa anual equivalente a 5% ao semestre?

Solução:
Teremos: 1 + i_a = (1 + i_s)²
Como 5% = 0,05  vem: 1 + i_a = 1,05² \ i_a = 0,1025 = 10,25%

Na calculadora HP 12C, seriam necessários os seguintes comandos:
100        CHS PV
5            tecle  i
2            tecle n
FV         (aparecerá no visor 110,25)
100 -      (aparecerá no visor 10,25)

2 - Qual a taxa mensal equivalente a 20% ao ano?

Solução:
Teremos: 1 + i_a = (1 + i_m)¹²
Como 20% = 20/100 = 0,20, vem:
1 + 0,20 = (1 + i_m)¹²
1,20 = (1 + i_m)¹²
Dividindo ambos os expoentes por 12, fica:
1,20^1/12 = 1 + i_m
Usando uma calculadora científica – a do Windows também serve – obteremos o valor de i_m = 0,0153 = 1,53% a.m.

Na calculadora HP 12C, seriam necessários os seguintes comandos:
100       CHS    PV
120                   FV
12                     n
                         i   (aparecerá no visor 1,53, se você estiver trabalhando com duas casa decimais).

Nota: visite o arquivo Introdução à calculadora HP 12C para saber como mudar o número de casas decimais.

3 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês?
Resposta: 6,17% a.a.

4 - Qual a taxa mensal equivalente a 12,62% ao semestre?
Resposta: 2% a.m.

5 - Uma taxa diária de 1%, equivale a que taxa mensal?
Resposta: 34,78%

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Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 17/06/2000 - revisado e ampliado em 07/06/2012.

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