A excentricidade das cônicas

As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuem todas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme mostrado na figura a seguir:

Nota: figura editada por meu filho Rafael C. Marques, 14.

Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula.

Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar equivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu, prefiro a primeira assertiva, pois é a correta!.

Brincadeiras à parte, prossigamos!

No caso da elipse já sabemos que:

excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a² = b² + c² , vem que:

Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.

Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.

Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.

No caso da hipérbole , já sabemos que c² = a² + b² e, portanto,

Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.

Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.

Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:

Cônica	e
Circunferência	0
Elipse	0 < e < 1
Hipérbole	e > 1

Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:

Considere o seguinte problema geral:

Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante real.

Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:

Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.

Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:

Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:

(x – f)² + y² = e² .(x – d)²
x² – 2.f.x + f² + y² = e² (x² – 2.d.x + d²)
x² – e².x² – 2.f.x + e².2.d.x + y² + f²– e².d² = 0
x²(1 – e²) + y² + (2e²d – 2f)x + f² – e².d² = 0

Ou finalmente:

x²(1 – e²) + y² + 2(e²d – f)x + f² – e²d² = 0

Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y² + 2(d – f).x + f² – d² = 0

Fazendo d = - f, vem:
y² – 4fx = 0 ou y² = 4fx, que é uma parábola da forma y² = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.

A constante e é denominada excentricidade.

Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 16 de julho de 2000 
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