| Hipérbole de centro na origem (0,0) |
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um
plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole,
à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada
um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2
é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF1
- PF2 ½ = 2 a
Os pontos F1 e F2
são denominados focos e a distancia F1F2
é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade
da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a
excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que
a unidade.
A1A2 é denominado eixo real ou eixo
transverso da hipérbole, enquanto que B1B2
é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado
da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a
relação:
c2
= a2 +
b2
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.
2 – Equação reduzida
da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma
hipérbole e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os
seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima,
podemos escrever:
½ PF1
- PF2 ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos
escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a
expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará
a:
b2.x2
- a2.y2
= a2.b2,
onde b2
= c2
– a2
, conforme pode ser verificado na figura acima.
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2
vem finalmente:
Obs: se o eixo
transverso ou eixo real (A1A2)
da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou
eixo conjugado (B1B2)
estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0)
passa a ser:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS
1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos:
25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação
da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos
os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a =
4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem
substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a
= Ö 41 /4 =
1,60
Resposta: 1,60.
2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x2 – 9y2 = 225 .
SOLUÇÃO:
Dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem
imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25
= 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será
igual a 2Ö
34.
3 – Determine as equações das
assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na
origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os
dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no
infinito.
Dada a hipérbole de equação:
Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R1:
y = (b/a).x e R2: y =
-(b/a).x
Veja a figura abaixo:
Paulo Marques - Feira de Santana -
BA, 19 de janeiro de 2000
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