Uma soma de potências de senos agradavelmente tranquila

Esta questão interessante foi encaminhada com a solução, pelo Prof. João Mesquita - RN. Fiz apenas as adaptações necessarias para a publicação na linguagem html.

Se   são medidas de ângulos tais que  , podemos afirmar que a expressão

 

é igual a:

A) 0   
B) 1  
C) -1  
D) 4   
E) 2010

Solução: 

Nota: : letras alfa, beta, fi e gama, do alfabeto grego clássico.

Esta questão, aparentemente assustadora, é muito simples, senão vejamos:

Dado que , poderemos escrever as igualdades abaixo:

Substituindo estes valores em cada denominador da expressão S dada

teremos:

Observe que para valores não nulos dos senos, cada quociente acima será igual a -1.

Assim, a soma S resulta:

S = (-1)²⁰¹⁰ + (-1)²⁰¹⁰ + (-1)²⁰¹⁰ + (-1)²⁰¹⁰ = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, o que nos leva tranquilamente à alternativa D. 

Agora resolva este: [fiz uma ampliação do problema proposto pelo Prof. J. Mesquita, dentro da mesma linha de raciocínio].

Nas mesmas condições do problema anterior, calcule o valor de

onde k é um número natural.

Resposta: -4

Paulo Marques - BA § João Mesquita - RN, 25 de junho de 2011.

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