|
Um triângulo na FTC de Feira de Santana |
Nota: FTC – Faculdade de Tecnologia e Ciências de Feira de Santana –
Vestibular 2004.1
Num triângulo ABC, isósceles, de base BC = 6 cm, o ângulo A mede 120º . Se
M é o ponto médio de AC, e N, um ponto de BC, tal que BN = (1/3).BC, então
MN mede, em cm,
a) Ö 7
b) Ö 13
c) Ö 31
d) Ö (19+ 4Ö 3)
e) Ö (19 - 4Ö 3)
Solução:
Veja a figura acima
Como é dito que o triângulo é isósceles, os ângulos da base possuem a
mesma medida ou seja, são congruentes e, portanto, B = C. Pela lei
angular de Tales, a soma dos ângulos internos do triângulo vale 180º.
Portanto, A + B + C = 180º. Como B = C, vem:
120 + B + B = 180 de onde conclui-se que B = C = 30º .
Como foi dito que BN = (1/3).BC e BC = 6, vem que BN = (1/3).6 = 2 e portanto,
NC = BC – BN = 6 – 2 = 4.
Como foi dito que M é o ponto médio de AC, podemos dizer que AM = MC = x.
Logo,
AC = AM + MC = x + x = 2x
Observe que sendo o triângulo ABC isósceles, conforme dito no enunciado, os
lados AB e AC possuem a mesma medida e, portanto, AB = 2x.
Posto isto, aplicando o Teorema
dos Cossenos – TC nos triângulos MNC e ABC, vem:
D MNC: MN2 = MC2 + NC2
– 2.MC.NC.cos30º
MN2 = x2 + 42 – 2.x.4.Ö
3 / 2, já que cos 30º = Ö 3 / 2.
Daí, vem: MN2 = x2 + 16 – 4Ö
3 x
D ABC: AB2 = AC2 + BC2
– 2.AC.BC.cos 30º
Como AB = AC = 2x e BC = 6 (dado do problema), vem imediatamente que:
(2x)2 = (2x)2 + 62 – 2.(2x).6. Ö
3 / 2.
4x2 = 4x2 + 36 – 12Ö 3 x Þ
4x2 – 4x2 – 36 + 12Ö 3 x
= 0 Þ 12Ö 3 x = 36
Então: x = 36/(12Ö 3) = 3 / Ö
3 = (3.Ö 3) / (Ö 3).(Ö
3) = Ö 3
Como vimos acima que MN2 = x2 + 16 – 4Ö
3 x, vem finalmente, substituindo o valor de x:
MN2 = (Ö 3)2 + 16 – 4Ö
3(Ö 3)
MN2 = 3 + 16 – 4.3 = 19 – 12 = 7 Þ
MN2 = 7 Þ MN = Ö
7
Portanto, a alternativa correta é a de letra A.
Agora resolva este:
Qual a área do quadrilátero ABMN do problema anterior?
Resposta: 2Ö 3 cm2
DICA: observe que a área do quadrilátero ABMN será igual à área do
triângulo ABC menos a área do triângulo MNC e que a área
de um triângulo é igual a metade dos produtos de dois dos
seus lados pelo seno
do ângulo que eles formam entre si.