Teorema dos Cossenos - TC

Considere o triângulo ABC na figura abaixo:

AH = altura do triângulo em relação à base CB.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.
Podemos escrever no triângulo AHB:
AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras).
Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:
b2 = CH2 + AH2
Mas, CH = CB – HB = a – HB
Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2
b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2
Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2
Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB
Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam.
Isto é o Teorema dos cossenos – TC.
Analogamente, poderemos escrever:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Em resumo:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC

Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x2 = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x2 = 42.3 Þ x =4Ö 3 cm

Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.

R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cossenos por:
PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2 (Obs: cos60º = 1/2)
PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R.

CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.

Paulo Marques - Feira de Santana/BA, nos idos de outubro 1997, com revisão em 30/09/06.

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