Uma soma de senos

UFPE 1996 -  Determine a menor solução real da equação:



Solução:

Lembrando da fórmula de transformação de soma em produto vista em Trigonometria, vem:

sen p + sen q = 2.sen [(p + q)/2] . cos [(p - q) / 2]

Fazendo p = px / 423  e  q = 2px / 423 e substituindo na fórmula acima, obteremos:

sen(px / 423) + sen(2px / 423) = 2.sen[3px / 423)/2].cos[(px / 423)/2]

Voltando à expressão dada, substituindo fica:

2.sen(3px / 846).cos(px / 846) = cos(px / 846)

Simplificando o fator comum, vem:

2.sen(3px / 846) = 1

sen(3px / 846) = 1/2
Mas, 1/2 = sen p/6; logo, substituindo fica:

sen(3px / 846) = sen(p/6)

Portanto, o menor valor positivo de x será obtido da igualdade
3px / 846 = p / 6

Se a/b = c/d, sabemos pela propriedade fundamental das proporções que ad = bc. Portanto:
(3px).6 = 846.p

Resolvendo em relação a x, obteremos x = 47, que é a resposta da questão.

Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 12/02/2001. Revisado em 04/05/03.

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