Equações Trigonométricas I

1 – Introdução: as equações elementares  

Equação trigonométrica elementar, é qualquer equação da forma 
sen x = sen a, cos x = cos a e tg x = tg a, onde x é um arco trigonométrico incógnita – a ser determinado – e a um arco trigonométrico qualquer.

Via de regra, qualquer equação trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa equação elementar, através do uso das relações trigonométricas usuais.

Nota: os arcos a e a + k.2p onde k é um número inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um número inteiro de voltas, ou seja:

a + k.2p - a = k.2p  

Este resultado é importante e, será utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir.

Observação: 2p = 360º = uma volta completa.

Para a solução das equações trigonométricas elementares, vamos estabelecer as relações fundamentais a seguir:

1.1 – Arcos de mesmo seno

Já sabemos que sen (p - a) = sen a.

Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonométrico, as soluções gerais da igualdade acima serão da forma:

x = (p - a) + k.2p ou x = a + k.2p.

x = p + 2k.p - a ou  x = a + k.2p

x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
sen x = sen a, será x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a.  

Exemplo: seja a equação elementar sen x = 0,5.

Como 0,5 = sen 30º = sen p/6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima:
sen x = sen p/6, de onde conclui-se:
x = (2k + 1).p - p/6  ou  x = 2kp + p/6, com k inteiro, que representa a solução genérica da equação dada. Fazendo k variar no conjunto dos números inteiros, obteremos as soluções particulares da equação.
Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituição na solução genérica encontrada acima,
x = - p/6 ou x = p/6; fazendo k = 1, obteremos
x = 17p/6 ou x = 13p/6, e assim sucessivamente. Observe que a equação dada, possui um número infinito de soluções em R – conjunto dos números reais.

Poderemos escrever o conjunto solução da equação dada na forma geral:  

S = {x| xÎR;  x =(2k + 1)p - p/6 ou x = 2kp + p/6, k Î Z}

Poderemos também listar os elementos do conjunto solução:  

S = { ..., - p/6, p/6, 17p/6, 13p/6, ... }

1.2 – Arcos de mesmo cosseno

Já sabemos que cos (-a) = cos a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:

x = (-a) + 2kp  ou  x = a + 2kp, sendo k um número inteiro.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
cos x = cos a, será dada por:
x = 2kp + a  ou   x = 2kp - a, sendo k um inteiro.

1.3 – Arcos de mesma tangente

Já sabemos que  tg(p + a)= tg a.
Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as soluções gerais da igualdade acima:
x = (p + a) + 2kp  ou  x = a + 2kp
Arrumando convenientemente, podemos escrever:
x = (2k + 1)p + a  ou  x = 2kp + a, sendo k um número inteiro.

Observando que 2k é um número par e 2k + 1 é um número ímpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expressões acima numa única: x = kp + a.

Portanto, a solução genérica de uma equação do tipo
tg x = tg a , será dada por  x = kp + a .

Assim, teremos em resumo:
sen x = sen a Û x = (2k + 1)p - a ou x = 2kp + a

cos x = cos a Û x = 2kp + a  ou   x = 2kp - a

tg x = tg a Û x = kp + a
sendo k um número inteiro.
Nota: O símbolo Û significa: equivale a.  

O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equação trigonométrica elementar que possa ser apresentada.
Como qualquer equação trigonométrica pode ser reduzida a uma equação elementar através de transformações trigonométricas convenientes, as igualdades acima são básicas para a resolução de qualquer equação trigonométrica. Este é um aspecto muito importante.

2 – Equações trigonométricas resolvidas

Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a) 2cosx – 3secx = 5

Solução:

Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:
2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0
2.cosx – 3/cosx – 5 = 0
Multiplicando ambos os membros por cosx ¹ 0, fica:
2.cos²x – 3 – 5.cosx = 0
Arrumando convenientemente, teremos:
2.cos²x – 5.cosx – 3 = 0.

Vamos resolver a equação do segundo grau em cosx. Teremos:

 

Portanto, cosx = 3  ou  cosx = -1/2.

A equação cosx = 3 não possui solução, já que o cosseno só pode assumir valores de –1 a +1.

Já para a equação cosx = -1/2, teremos:

cosx = -1/2 = cos120º = cos(2p/3)
Logo,
cosx = cos(2p/3)
Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as soluções genéricas da equação dada:

x = 2kp + 2p/3   ou   x = 2kp - 2p/3
Estas soluções podem ser reunidas na forma:
x = 2kp ± 2p/3.

Logo, o conjunto solução da equação proposta será:

S = {x | x = 2kp ± 2p/3, k inteiro}.

b) 5tg²x – 1 = 7 secx
Resposta: x = kp ou x = kp + p/4.

c)3.senx - Ö3.cosx = 0

Solução:

Teremos: 3.senx = Ö3.cosx
Dividindo ambos os membros por cosx ¹ 0, fica:
3.senx/cosx = Ö3.cosx/cosx = Ö3.
3.tgx = Ö3
tgx = Ö3/3 = tg30º = tg(p/6)
Vamos então resolver a equação elementar
tgx = tg(p/6)
Do exposto no item 1.3 acima, vem imediatamente que:

x = kp + p/6.

d) Ö3.senx – cosx = 0.
Resposta: x = kp + p/6.

e) tgx + cotgx = 2

Solução:

Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em função de senx e cosx, vem:
senx/cosx + cosx/senx = 2

Efetuando a operação indicada no primeiro membro, vem:
(sen²x + cos²x)/(senx.cosx) = 2
Como sen²x + cos²x = 1, fica:
1/senx.cosx = 2
1 = 2.senx.cosx
1 = sen2x
sen2x = 1 = sen90º = sen(p/2).
sen2x = sen(p/2)
Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem:

2x = (2k+1)p - p/2  OU   2x = 2kp + p/2.
Dividindo ambas as expressões por 2, fica:
x = (2k+1).p/2 - p/4  OU   x = kp + p/4.
Simplificando a primeira expressão, vem:
x = kp + p/4  OU   x = kp + p/4.
Portanto, x = kp + p/4, que é a solução procurada.

f) tgx + cotgx = 4/Ö3

Resposta: x = kp + p/3  OU   x = kp + p/6.

g) 4(sen³x – cos³x) = 5(senx – cosx)

Solução:

Lembrando da identidade:

A³ – B³ = (A – B) (A² + AB + B²), poderemos escrever:
4(senx – cosx)(sen²x + senx.cosx + cos²x) = 5(senx - cosx)

Como sen²x + cos²x = 1, vem, substituindo:
4(senx – cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx – cosx)
Simplificando os termos em comum, vem:
4(1 + senx.cosx) = 5
1 + senx.cosx = 5/4
senx.cosx = 5/4 – 1 = 5/4 – 4/4 = 1/4
senx.cosx = 1/4

Multiplicando ambos os membros por 2, fica:
2.senx.cosx = 2(1/4)
2.senx.cosx = 1/2

Como já sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x, vem:
sen2x = 1/2 = sen30º = sen(p/6)
sen2x = sen(p/6)

Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica:
2x = (2k+1)p - p/6 OU 2x = 2kp + p/6
Dividindo ambas as expressões por 2, vem:
x = (2k+1).p/2 - p/12 OU x = kp + p/12
Simplificando a primeira expressão, fica:
x = kp + 5p/12 OU x = kp + p/12, que é a solução procurada.
Portanto,

S = {x | x = kp + 5p/12 ou x = kp + p/12, k inteiro}.

h) Resolva a mesma equação anterior, no conjunto universo
U = [0, p/2].

Resposta: S = {5p/12, p/12}.

Nota: basta atribuir valores inteiros a k na solução geral vista no exercício anterior e considerar apenas aqueles resultados compreendidos no intervalo dado [0,p/2].

Existem diversos tipos de equações trigonométricas, sendo impossível abordá-las num único arquivo, motivo pelo qual, prometemos voltar ao assunto. Afirmamos entretanto, que qualquer que seja a equação trigonométrica dada, através de transformações convenientes, sempre recairemos numa equação elementar, dos tipos vistos nos itens 1.1, 1.2 e 1.3 acima.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 06 de maio de 2001.
CONTINUAR
VOLTAR