Vamos resolver mais algumas questões sobre o assunto.

1 – Uma urna possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa urna, de modo que retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade dela ser azul seja igual a 2/3?

SOLUÇÃO:

Seja x o número de bolas azuis a serem colocadas na urna. O espaço amostral possuirá, neste caso, 3 + 5 + x = x + 8 bolas.
Pela definição de probabilidade vista nas aulas anteriores, a probabilidade de que uma bola retirada ao acaso seja da cor azul será dada por: x/(x+8). Mas, o problema diz que a probabilidade deve ser igual a 2/3.
Logo, vem: x/(x+8) = 2/3; daí, vem, resolvendo a equação do 1º grau:
3x = 2(x+8) , donde 3x = 2x + 16 e, finalmente vem que x = 16.

Resposta: 16 bolas azuis.

2 – Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas
e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as bolas sejam da mesma cor vale 1/2?

SOLUÇÃO:

O espaço amostral do experimento possui n(U) = 1 + 4 + x = x + 5 bolas.
Vamos considerar as três situações distintas possíveis:

A. as bolas retiradas são ambas da cor preta.
Como existe reposição da bola retirada, os eventos são independentes. Logo, a probabilidade que saia uma bola preta (P) e em seguida outra bola preta (P’) será dada por:
p(P Ç P’) = p(P).p(P’) =[1/(x+5)].[1/(x+5)] = 1/(x+5)²

B. as bolas retiradas são ambas da cor branca.
Usando o mesmo raciocínio anterior e considerando-se que os eventos são independentes (pois ocorre a reposição da bola retirada), teremos:
P(B Ç B’) = p(B) . p(B’) = [4/(x+5)].[4/(x+5)] = 16/(x+5)²

C. as bolas retiradas são ambas da cor azul.
Analogamente, vem:
p(A Ç A’) = p(A) . p(A’) = [x/(x+5)].[x/(x+5)] = x²/(x+5)²

Estes três eventos são INDEPENDENTES – pois com a reposição da bola retirada – a ocorrência de um deles, não modifica as chances de ocorrência do outro. Logo, a probabilidade da união desses três eventos, será igual a soma das probabilidades individuais. Daí, pelos dados do problema, vem que:

[1/(x+5)²] + [16/(x+5)²] + [x²/(x+5)² ]= 1/2
Vamos resolver esta equação do 2º grau:
(1+16+x²)/(x+5)² = 1 /2
2(17+x²) = 1. (x+5)²
34 + 2x² = x² + 10x + 25
x² – 10x + 9 = 0, de onde concluímos x=1 ou x=9.

Resposta: x=1 ou x=9.

Nota: as questões 1 e 2 acima, compareceram no vestibular da FUVEST – 1995 – segunda fase, subdivididas em dois ítens (a) e (b) da questão de número 08.

3 – Uma máquina produziu 60 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Escolhendo-se ao acaso dois parafusos dessa amostra, qual a probabilidade de que os dois sejam perfeitos?

Solução:

Existem problemas de Probabilidades nos quais a contagem do número de elementos do espaço amostral U não pode ser feita diretamente. Teremos que recorrer à Análise Combinatória, para facilitar a solução.
Para determinar o número de elementos do nosso espaço amostral U, teremos que calcular quantos grupamentos de 2 parafusos poderemos obter com os 60 parafusos da amostra. Trata-se de um típico problema de Combinações simples, já visto em Análise Combinatória. Teremos então:
n(U) = C_60,2 = 60!/(58!.2!) = 60.59.58!/58!.1.2 = 30.59

Considerando-se o evento E: os dois parafusos retirados são perfeitos, vem que:
60 parafusos – 5 defeituosos = 55 parafusos perfeitos.
Teremos então que o número de possibilidades desse evento será dado por:
n(E) = C_55,2 = 55!/53!.2! = 55.54.53!/53!.1.2 = 55.27

Logo, a probabilidade de ocorrência do evento E será igual a:
p(E) = n(E)/n(U) = 55.27/30.59 = 1485/1770 = 0,838983 = 83,8983%
Resposta: aproximadamente 84%.
A interpretação deste resultado é que se o experimento for repetido 100 vezes, obteremos aproximadamente em 84 vezes, dois parafusos perfeitos.

Agora resolva as seguintes questões:

Q1) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirando-se ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
Resposta: 0,00051 = 0,051%

Q2) Em relação à questão anterior, determine a probabilidade de numa retirada de 3 parafusos ao acaso, sairem pelo menos dois parafusos defeituosos.
Resposta: 0,02347 = 2,347%
Observação: pelo menos 2 defeituosos = 2 defeituosos ou 3 defeituosos.
Lembre-se que o número de maneiras de numa retirada de 3 parafusos, sairem 2 defeituosos e 1 não defeituoso será dado por:
C5,2.C45,1 = 450. Daí, a probabilidade de sairem 2 parafusos defeituosos será igual a 450/C50,3 = 0,02296.
Já sabemos do exercício anterior que a probabilidade de sairem 3 parafusos defeituosos é igual a 0,00051.
Portanto, a probabilidade procurada será igual à soma: 0,02296 + 0,00051 = 0,02347 = 2,347%.

Q3) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?
Resposta: 5/34 ou aproximadamente 14,7%

Q4) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja vermelha?
Resposta: 5/8 ou 62,5%

Salvador - BA, revisado e ampliado em 02 de abril 2009 - Paulo Marques.

CONTINUAR

VOLTAR