Brincando com fatoriais

Já sabemos que o fatorial de um número natural n > 1 é calculado pela fórmula:
n! = 1.2.3.4.5. ... . n

Para n = 0 ou n = 1, define-se 0! = 1! = 1.

Nota: Segundo o Prof. Dr. Jaime Carvalho e Silva da Universidade de Coimbra – PT, consta que o símbolo de fatorial ( n! ) foi usado pela primeira vez em 1808.
Para maiores detalhes, visite o enderêço seguinte:
http://br.groups.yahoo.com/group/hist-mat-port/message/87

Vamos calcular alguns fatoriais para naturais maiores ou igual a 2, usando a definição:

2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
6! = 1.2.3.4.5.6 = 720
7! = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040
8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 43 020
9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 362 880
10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 3 628 800
11! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11 = 39 916 800
12! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 = 479 001 600
13! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13 = 6 227 020 800
14! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14 = 87 178 291 200
15! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15 = 1 307 674 368 000
16! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16 = 20 922 789 888 000

e assim sucessivamente.

Observe que a partir do fatorial de 5, sempre aparecerão os fatores 2 e 5. Ocorre que 2.5 = 10.

Como todo número natural multiplicado por 10 termina em zero, podemos concluir que os fatoriais de todos os números naturais maiores ou igual a 5, irão terminar em zero.

Assim, por exemplo, o fatorial de 22 (simbolicamente 22!), apesar de ser um número de proporções gigantescas, irá terminar em zero.

Observe que o número de zeros no final vai aumentando, na medida em que vão aparecendo composições de multiplicações que terminam em zero. No caso de 15! por exemplo, além do produto 2.5.10 = 100, aparece o produto 14.15 = 210 que é igual a 21.10, ou seja, aparece mais um 10, o que aumenta o número de zeros para 000, uma vez que 2.5.10.21.10 = 21.1000 e todo número multiplicado por 1000 termina em três zeros.

Somente a título ilustrativo, a população mundial em 2004 é da ordem de pouco mais de 6 bilhões de habitantes, o que pode ser representado aproximadamente pelo fatorial de 13 (13!), conforme pode ser constatado acima.

Exercícios resolvidos:

1 – Qual o algarismo das unidades de
[(1! + 2! + 3! + 4! + 5!)²]! ?

Solução:

Como 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153, substituindo vem:

(153²)! = 23409!

Este número gigantesco (e bota gigantesco nisto!), conforme o que foi visto acima, vai terminar em zero. Portanto, o algarismo das unidades será igual a 0.

2 – Qual o algarismo das unidades do número
(4! + 5! + 6! + ... + 98!)¹⁰⁰⁰ ?

Solução:

Observe que 4! = 24 e todos os fatoriais a partir de 5 na expressão dada, irão terminar em zero. Logo, a soma vai terminar em 4. Todo número terminado em 4 quando elevado a um expoente par, irá terminar em 6., pois sempre aparecerá o produto 4x4x4x4 ... um número par de vezes. Então, o algarismo das unidades será 6.

Agora resolva este:

Qual o algarismo das unidades do número
(4! + 5! + 6! + ... + 124! + 125!)²ⁿ , onde n é um número natural maior do que zero? .

Resposta: 6

Nota: observe que 2n é um número par.

PAULO MARQUES, 06 de fevereiro de 2004 – Feira de Santana - BA

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