| Ampliando a contagem da distribuição das laranjas e maçãs |
Conforme prometi no arquivo Questão
Anulada: questão resolvida publicado em 25/04/2008, vamos ampliar o
problema para um número maior de frutas.
1
- Pretende-se
distribuir 10 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas
receba, pelo menos uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n
maneiras diferentes, o valor de n é:
A) 17
B) 18
C) 19
D) 25
E) 27
Solução:
Inicialmente, devemos registrar que a expressão “de
modo que cada uma delas receba, pelo menos uma laranja” , significa que
na divisão das frutas, nenhuma das pessoas terá zero laranjas, ou seja, cada
uma das pessoas receberá ou 1, ou
2, ou 3, ou 4, ou 5 , ou 6, ou 7 ou 8 ou 9 laranjas . Nenhuma delas poderá receber
10 laranjas senão a outra não receberia nenhuma, já que são somente 10 laranjas.
Sejam P1 e P2 as pessoas que receberão
as frutas.
Vamos começar pelas maçãs que são em menor número (são duas) o que
facilitará nossa análise. Teremos três casos:
I – P1 recebe duas maçãs e P2, nenhuma
Nestas condições, das 12 frutas, basta analisar a distribuição das 10 laranjas. Como são duas pessoas, e supondo que P1 receba x1
laranjas e P2 receba x2 laranjas, basta achar o número de
soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2
= 10, com a condição de que x1 e x2 não sejam
nulos.
Como a soma é 10 (de 10 laranjas), não vou aplicar fórmula nenhuma agora. Vou
contar diretamente. Nos exercícios seguintes , repetirei o problema para 90
e 900 laranjas. Aí sim, a contagem direta não seria possível, cabendo
o uso de uma fórmula.
É óbvio, que os pares ordenados (x1,x2) que satisfazem
à equação x1 + x2 = 10 com x1 e x2
não nulos são:
(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3) , (8,2) e (9,1), num total de 9 soluções.
II – P1 não recebe maçãs e P2 recebe duas maçãs
O raciocínio é o mesmo, existindo 9 soluções.
III – P1 recebe 1 maçã e P2 recebe 1 maçã
Da mesma forma, é óbvio que aqui também existirão 9 soluções.
Então, como as situações I, II e III são excludentes (uma, exclui a outra, não
havendo intercessão entre elas), o número total de possibilidades será igual
à soma 9 + 9 + 9 = 27, que é o número n
procurado, o que nos leva tranquilamente à alternativa E.
2 - Pretende-se
distribuir 90 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas
receba, pelo menos uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n
maneiras diferentes, o valor de n é:
A) 267
B) 287
C) 197
D) 257
E) 278
Solução:
Aplicando o mesmo raciocínio utilizado no problema anterior,
deveremos encontrar o número de soluções inteiras e não negativas, da
equação
x1 + x2 = 90, com a condição que x1 e x2
não sejam nulos . Poderíamos até contar diretamente mas, aqui já
ficaria muito mais trabalhoso.
Reveja aqui o arquivo Número de soluções
inteiras e não negativas de uma equação linear (para retornar ao presente arquivo, clique em VOLTAR no seu browser) e conclua que o
número de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2
= 90 será igual a:
Ora, destas 91 soluções, duas serão iguais a (0,90) ou
(90,0) que não nos interessam no presente caso, conforme argumentação
anterior, restando
91 - 2 = 89 soluções. Portanto, por tudo que já vimos
neste arquivo e no anterior, concluímos que o
número total de formas de distribuição será igual à soma 89 + 89 + 89 = 267, o
que nos leva tranquilamente à alternativa A.
Agora que você já sabe, resolva este:
Pretende-se
distribuir 900 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas
receba, pelo menos uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n
maneiras diferentes, o valor de n é:
A) 2878
B) 2987
C) 1987
D) 2697
E) 2788
Resposta: D
Paulo Marques , Feira de Santana - BA -
30/04/2008.