Questão Anulada: questão resolvida UEFS 2004.1 - Pretende-se distribuir 9 laranjas e 2 maçãs entre duas pessoas, de modo que cada uma delas receba, pelo menos uma laranja. Se essa distribuição pode ser feita de n maneiras diferentes, o valor de n é:
A) 7
B) 8
C)9
D) 10
E) 11
Solução:
Nota 1: esta questão compareceu no vestibular 2004.1 da UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana sob o número 42, e foi ANULADA na época, porque dentre as alternativas apresentadas, não constava a resposta correta, 24.
Recebi e-mail do pré-vestibulando Daniel, solicitando a solução.
Nota 2: Daniel afirmava no seu e-mail que a resposta seria a alternativa D (de Daniel), um ledo engano! Vamos então à solução:
Inicialmente, devemos registrar que a expressão “de modo que cada uma delas receba, pelo menos uma laranja” , significa que na divisão das frutas, nenhuma das pessoas terá zero laranjas, ou seja, cada uma das pessoas receberá ou 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou 5 , ou 6, ou 7 ou 8 laranjas. Nenhuma delas poderá receber 9 laranjas senão a outra não receberia nenhuma, já que são somente 9 laranjas.
Sejam P1 e P2 as pessoas que receberão as frutas.
Vamos começar pelas maçãs que são em menor número (são duas) o que facilitará nossa análise. Teremos três casos:
I – P1 recebe duas maçãs e P2, nenhuma
Nestas condições, das 11 frutas, basta analisar a distribuição das 9 laranjas. Como são duas pessoas, e supondo que P1 receba x1 laranjas e P2 receba x2 laranjas, basta achar o número de soluções inteiras e não negativas da equação x1 + x2 = 9, com a condição de que x1 e x2 não sejam nulos.
Como a soma é 9 (de 9 laranjas), não vou aplicar fórmula nenhuma agora. Vou contar diretamente. Em outro arquivo a ser publicado brevemente neste site , repetirei o problema para 90 e 900 laranjas. Aí sim, a contagem direta não seria possível, cabendo o uso de uma fórmula.
É óbvio, que os pares ordenados (x1,x2) que satisfazem à equação x1 + x2 = 9 são:
(1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2) e (8,1), num total de 8 soluções.
II – P1 não recebe maçãs e P2 recebe duas maçãs
O raciocínio é o mesmo, existindo 8 soluções.
III – P1 recebe 1 maçã e P2 recebe 1 maçã
Da mesma forma, é óbvio que existirão 8 soluções.
Então, como as situações I, II e III são excludentes (uma, exclui a outra, não havendo intercessão entre elas), o número total de possibilidades será igual à soma 8 + 8 + 8 = 24, que é o número n procurado.
São, portanto, 24 formas distintas de distribuição das frutas, conforme o enunciado.
Nota: o que leva um examinador a colocar uma questão sem resposta, que tenha que ser anulada, num vestibular? Claro que é por mero engano; nenhum examinador colocaria tal armadilha num concurso vestibular. Mas, imagine o aluno criterioso que, acreditando que existia uma resposta entre as cinco propostas, tenha perdido tempo e muito tempo, refazendo os cálculos, tentando achar uma das alternativas apresentadas? É óbvio que este aluno ficou prejudicado em relação àqueles que apenas “chutaram” uma alternativa. Isto é um absurdo! Eles têm meses para elaborar a prova e o aluno só tem 4 horas para resolver as questões! A luta torna-se muito desigual! Considerando-se que os vestibulares de hoje em dia são altamente competitivos e, uma questão pode fazer a diferença, em minha modesta opinião, uma questão anulada deveria anular o vestibular como um todo. Se isto não for verdadeiro, pelo menos é um assunto que merece discussão e reflexão!.Paulo Marques , Feira de Santana - BA - 25/04/2008.