Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode escolher cinco pastéis?
A)
18
B) 21
C) 15
D) 35
E) 25
Solução:
Pelo enunciado, temos três
tipos de pastéis, para serem agrupados em grupos de cinco unidades.
Sendo C = pastel de carne, Q = pastel de queijo e P = pastel de palmito, poderíamos
por exemplo, ter os seguintes agrupamentos:
CCCCC – no caso da pessoa escolher 5 pastéis de carne.
PPQQC – no caso da pessoa escolher 2 pastéis de palmito, 2 de queijo e 1 de
carne, etc.
Podemos observar que, sendo x o número de pastéis de queijo, y
o número de pastéis de queijo e z
o número de pastéis de palmito,
é válido escrever:
x
+ y + z = 5
Como x, y e z são números inteiros não negativos, o problema proposto é equivalente à determinação do número total de soluções inteiras e não negativas, da equação acima.
Ora, o número de soluções inteiras e não negativas desta equação, será dado por
onde n = 3 e b = 5. Revise isto clicando AQUI.
Portanto, substituindo os valores, encontraremos a solução procurada:
Logo, existem 21 maneiras de escolher cinco pastéis entre os 3 tipos disponíveis, o que nos leva à alternativa B.
Poderíamos também, resolver o problema de outra maneira, a saber:
Temos 5 unidades para serem divididas em 3 partes ordenadas.
Exemplos:
(2,3,0) é uma solução, ou
seja: 2 pastéis de carne e 3 de queijo.
(1,3,1) é uma solução, ou seja: 1 pastel de carne, 3 de queijo e 1 de
palmito.
(0,0,5) é uma solução, ou seja: 5 pastéis de palmito, etc
.........................................................................................................................
A representação a seguir, mostra uma disposição de uma das soluções possíveis:
(1,2,2), ou seja: 1 pastel de
carne, 2 de queijo e 2 de palmito.
Observe que temos 7 =
(5 + 2) símbolos,
sendo 5 “pontinhos” e 2 “traços”.
Tudo funciona como se tivéssemos que permutar 7 elementos com repetição de
5 deles e de 2 deles. Assim, usando a fórmula de permutações
com repetição , teremos
finalmente:
Ou seja, existem 21 maneiras de se escolher 5 pastéis entre 3 tipos diferentes.
Estas 21 maneiras distintas de escolha, estão indicadas abaixo, onde
C = pastel de carne
Q = pastel de queijo
P = pastel de palmito:
(5,0,0) – CCCCC
(4,1,0) – CCCCQ
(4,0,1) – CCCCP
(3,2,0) – CCCQQ
(3,0,2) – CCCPP
(3,1,1) – CCCQP
(2,3,0) – CCQQQ
(2,0,3) – CCPPP
(2,1,2) – CCQPP
(2,2,1) – CCQQP
(1,4,0) – CQQQQ
(1,0,4) – CPPPP
(1,1,3) – CQPPP
(1,3,1) – CQQQP
(1,2,2) – CQQPP
(0,5,0) – QQQQQ
(0,0,5) – PPPPP
(0,1,4) – QPPPP
(0,4,1) – QQQQP
(0,2,3) – QQPPP
(0,3,2) – QQQPP
Observe que a solução do problema, coincide com a determinação do número
de soluções inteiras e não negativas da equação linear
x + y + z = 5.
Para revisar, clique AQUI.
Agora tente resolver este:
Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e
palmito. De quantas formas uma pessoa pode escolher quatro pastéis?
Resposta: 15 formas distintas, a saber, onde C = carne, Q = queijo e P =
palmito:
(4,0,0) - CCCC
(3,1,0) - CCCQ
(3,0,1) - CCCP
(2,0,2) - CCPP
(2,1,1) - CCQP
(2,2,0) - CCQQ
(1,0,3) - CPPP
(1,1,2) - CQPP
(1,2,1) - CQQP
(1,3,0) - CQQQ
(0,4,0) - QQQQ
(0,3,1) - QQQP
(0,2,2) - QQPP
(0,1,3) - QPPP
(0,0,4) - PPPP
Paulo Marques, 17 de novembro de 2001 – Feira de Santana – BA.