1 – Mostrar que 2.4.6.8. ... .(2n – 2).2n = n! . 2n
Solução:
O primeiro membro da
igualdade pode ser escrito como:
2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . ... . 2.(n – 1) . 2.n
Observe que no produto acima, o fator 2 se repete n vezes;
portanto, o produto de 2 por ele mesmo,
n vezes, resulta na
potência 2n.
Logo, o primeiro membro da igualdade fica:
2n(1 . 2 . 3 . 4 . ... . n)
Observe que entre parênteses, temos exatamente o fatorial de n
ou seja: n!
Substituindo, vem finalmente : 2n . n!
Assim, mostramos que:
2.4.6.8. ... .2(n –
1). 2n = n! . 2n
Então, podemos dizer que:
O produto dos
n primeiros números pares positivos é igual ao fatorial de n
multiplicado pela n - ésima potência de 2.
2 – Simplificar o número fracionário:
Solução:
Usando o resultado do problema anterior, poderemos escrever imediatamente:
Portanto, a expressão dada, quando simplificada, fica igual a 2 -(n+p).
3 – Mostrar que, qualquer que seja o número inteiro n ³ 2, o produto n(n – 1) (n – 2) é um número divisível por 6.
Solução:
Vamos
preparar a expressão dada, multiplicando-a e dividindo-a pelo
mesmo valor conveniente, o que não altera o seu valor.
Vem:
Mas, n! / 3!.(n-3)! = Cn,3 \ n(n – 1)(n – 2) = 6.Cn,3
Portanto, vem:
Como Cn,3 = número de
combinações simples de n elementos tomados 3 a 3, é um número
inteiro, concluímos que inevitavelmente o produto n(n –
1)(n – 2) é um número divisível por 6, para n ³ 2.
Nota: para n = 2, teremos n(n –
1)(n – 2) = 2.1.0 = 0, e zero é divisível por
6, pois 0/6 = 0.
Paulo Marques, arquivo atualizado em 15/12/2000.