| Exercícios de Análise Combinatória IV |
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1 - A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?
SOLUÇÃO:
Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento.
O número procurado é igual a:
C6-2,4-2 = C 4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.
Observe que raciocinamos com a formação das comissões de 2 membros escolhidos entre 4, já que duas posições na comissão são fixas: a do Presidente e do Vice.
2 – A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de dois membros podem ser formadas, com a condição de que em nenhuma delas figure o Presidente e o Vice?
SOLUÇÃO:
Ora, retirados o Presidente e o Vice, restam 6 – 2 = 4 elementos. Logo, O número procurado será igual a:
C6-2,2 = C4,2 = (4.3)/(2.1) = 6.
3 - Numa assembléia de quarenta cientistas, oito são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?
SOLUÇÃO:
A expressão “no mínimo um físico” significa a presença de 1, 2, 3, 4 ou 5 físicos nas comissões.
Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comissões não possuem físicos e subtrair este número do total de agrupamentos possíveis.
Ora, existem C40,5 comissões possíveis de 5 membros escolhidos entre 40 e, existem C40-8,5 = C32,5 comissões nas quais não aparecem físicos.
Assim, teremos:
C40,5 - C32,5 = 456 632 comissões. Observe que Cn,k = n!/(n-k)!.k!
4 - Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 68275?
SOLUÇÃO:
O número 68275 será precedido pelos números das formas:
a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de 4! + 4! = 48 permutações
b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações
c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação.
Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de número 68.
5 - Sabe-se que o número de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular é dado pela fórmula
P’n = (n - 1)! . Nestas condições, de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas?
SOLUÇÃO:
Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas, podemos considerar que os agrupamentos possíveis serão das seguintes formas:
a) (AB)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120
b) (BA)XYZWK.......P’n = (6-1)! = 120
Logo o número total será: 120+120 = 240.
6 - De quantas maneiras seis pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
SOLUÇÃO:
P’n = (6-1)! = 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
7 - Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. De quantos modos se podem sentar as pessoas?
SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se:
A9,7 = 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440
Nota: observe que An,k contém k fatores decrescentes a partir de n. Exemplo: A10,2 = 10.9 = 90, A9,3 = 9.8.7 = 504, etc.
Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto, com o seguinte raciocínio:
a primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440
8 - Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal?
SOLUÇÃO:
A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N, no início da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:
(N...U) (N...I) (N...E) (N....A)
Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será, pois, igual a
20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.
9 - Numa reunião estão doze pessoas. Quantas comissões de três membros podem ser formadas, com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?
SOLUÇÃO:
Como um dos 3 integrantes é sempre A, resta determinar os dois outros, com a condição de que não seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presença garantida) e B (que não pode participar junto com A) restam 10 pessoas que deverão ser agrupadas duas a duas. Portanto, o número procurado é igual a C10,2 = (10.9)/(2.1) = 45.
10 - Numa assembléia há cinqüenta e sete deputados sendo trinta e um governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de sete deputados podem ser formadas com quatro membros do governo e três da oposição?
SOLUÇÃO:
Escolhidos três deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são as combinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C31,4 . Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C26,3 maneiras distintas; portanto o número total de comissões é igual a C26,3 . C31,4 = 81.809.000, ou seja, quase oitenta e dois milhões de comissões distintas!.
11 - Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?
SOLUÇÃO:
Observe que a palavra ARARA possui 5 letras porém com repetição. Se as 5 letras fossem distintas teríamos
5! = 120 anagramas.Como existem letras repetidas, precisamos “descontar” todas as trocas de posições entre letras iguais. O total de anagramas será, portanto, igual a P = 5!/(3!.2!) = 10.
É óbvio que podemos também calcular diretamente usando a fórmula de permutações com repetição.
12 – De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?
SOLUÇÃO:
Dentre os 5 livros de Matemática, podemos realizar 5! permutações distintas entre eles. Analogamente, 3! para os livros de Física e 2! para os livros de Química.
Observe que estes 3 conjuntos de livros podem ainda serem permutados de 3! maneiras distintas entre si. Logo, pela regra do produto, o número total de possibilidades será:
N = [(5!).(3!).(2!)].(3!) = 120.6.2.6 = 8640 modos distintos.
Agora resolva estes:
1 – Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de quatro pessoas podemos formar?
2 – Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de cinco pessoas podemos formar, constituídas por dois homens e três mulheres?
3 - De quantos modos podemos dispor cinco livros de Matemática, três de Física e dois de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto e na ordem dada no enunciado, fiquem sempre juntos?
Gabarito: 1)210 2)60 3)1440.
PAULO MARQUES - Feira de Santana - BA – 09/01/2001.