Qual a soma dos números de cinco algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Nota: o fatorial de n é indicado por n! e definido pela fórmula: n! = 1.2.3.4. ... . n

SOLUÇÃO:

Seja XYZWK a forma genérica de um número de 5 algarismos.
Podemos observar que o algarismo 1 aparecerá:

4! vezes na forma 1YZWK
4! vezes na forma X1ZWK
4! vezes na forma XY1WK
4! vezes na forma XYZ1K
4! vezes na forma XYZW1

O mesmo ocorrerá com os algarismos 2, 3, 4 e 5.

Para entender a passagem seguinte, é necessário relembrar o que significa Valor Posicional de um algarismo. Vejamos através de exemplos:

132 : cento e trinta e dois - o valor posicional de 1 é 100, o valor posicional de 3 é 30 e o valor posicional de 2 é 2, o que resulta no número cento e trinta e dois = 132.

2456: o valor posicional de 2 é 2000, o valor posicional de 4 é 400, o valor posicional de 5 é 500 e o valor posicional de 6 é 6, resultando no número dois mil quatrocentos e cinqüenta e seis = 2456.

Voltando à solução do problema:

O valor posicional do algarismo 1 em 1YZWK é 10000.
O valor posicional do algarismo 1 em X1ZWK é 1000.
O valor posicional do algarismo 1 em XY1WK é 100.
O valor posicional do algarismo 1 em XYZ1K é 10.
O valor posicional do algarismo 1 em XYZW1 é 1.

Usando o conceito de Valor Posicional, teremos então as seguintes somas:

1 – Para o algarismo 1 nas cinco posições possíveis:
S₁ = 4!.1.10000 + 4!.1.1000 + 4!.1.100 + 4!.1.10 + 4!.1.1

Analogamente, teremos:

2 – Para o algarismo 2 nas cinco posições possíveis:
S₂ = 4!.2.10000 + 4!.2.1000 + 4!.2.100 + 4!.2.10 + 4!.2.1

3 – Para o algarismo 3 nas cinco posições possíveis:
S₃ = 4!.3.10000 + 4!.3.1000 + 4!.3.100 + 4!.3.10 + 4!.3.1

4 – Para o algarismo 4 nas cinco posições possíveis:
S₄ = 4!.4.10000 + 4!.4.1000 + 4!.4.100 + 4!.4.10 + 4!.4.1

5 – Finalmente, para o algarismo 5 nas cinco posições possíveis, teremos:
S₅ = 4!.5.10000 + 4!.5.1000 + 4!.5.100 + 4!.5.10 + 4!.5.1

A soma procurada será então igual a S = S₁+S₂+S₃+S₄+ S₅

Vamos reescrever as expressões obtidas acima:

4!.1.10000 + 4!.1.1000 + 4!.1.100 + 4!.1.10 + 4!.1.1
4!.2.10000 + 4!.2.1000 + 4!.2.100 + 4!.2.10 + 4!.2.1
4!.3.10000 + 4!.3.1000 + 4!.3.100 + 4!.3.10 + 4!.3.1
4!.4.10000 + 4!.4.1000 + 4!.4.100 + 4!.4.10 + 4!.4.1
4!.5.10000 + 4!.5.1000 + 4!.5.100 + 4!.5.10 + 4!.5.1

Somando as expressões acima, observando que 10000, 1000, 100, 10 e 1, são termos comuns, vem:

S = 4!(1+2+3+4+5).10⁴ + 4!(1+2+3+4+5).10³ + 4!(1+2+3+4+5).10² + 4!.(1+2+3+4+5).10¹ + 4!.(1+2+3+4+5).10⁰

Fatorando convenientemente, a soma S ficará igual a:

S = 4!.(1+2+3+4+5).(10000+1000+100+10+1)

Como 4! = 4.3.2.1 = 24, vem:
S = 24.(1+2+3+4+5).11111
S = 24.15.11111
Finalmente, concluímos que S = 3999960, que é a resposta procurada.

Resolvi este problema mais uma vez, no veraneio de 1995, mais precisamente às 12:15h do dia 06/02/95, na Ilha de Itaparica/BA, na localidade de Mar Grande – Município Vera Cruz - praia de Gamboa. Descobri depois, que em Portugal existe também uma praia com o mesmo nome - Gamboa, o que talvez, justifique o nome dessa linda praia baiana. Este comentário poderia ter sido omitido porém, não resisti à idéia de fazê-lo!

Paulo Marques - Feira de Santana - BA. Arquivo revisado e ampliado em 21/02/08