1 – O Sistema de numeração decimal

Já conhecemos o sistema de numeração decimal ou de base 10, que utiliza os 10 algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 para representação dos números reais.

Um aspecto muito importante da representação de um número ou seja, do seu numeral, é o VALOR POSICIONAL dos algarismos que o compõe. Assim, por exemplo, no número 234 – duzentos e trinta e quatro – o algarismo 2 possui valor posicional 200, o algarismo 3 possui valor posicional 30 e o algarismo 4, possui valor posicional 4.

Podemos escrever:

234 = 200 + 30 + 4

234 = 2.100 + 3.10 + 4.1

234 = 2.10² + 3.10¹ + 4.10⁰

Analogamente, poderemos citar outros exemplos:

6542 = 6000 + 500 + 40 + 2

6542 = 6.1000 + 5.100 + 4.10 + 2

6542 = 6.10³ + 5.10² + 4.10¹ + 2.10⁰

508 = 500 + 0 + 8

508 = 5.100 + 0.10 + 8

508 = 5.10² + 0.10¹ + 8.10⁰

Nota: cabe aqui distinguir número, numeral e algarismo.

NÚMERO = exprime a idéia de quantidade.

NUMERAL = símbolo utilizado para representar o número.

ALGARISMO = numerais de 0 a 9, no sistema de numeração decimal – base 10, letras I,V,X,L,C,D e M no sistema de algarismos romanos, etc

Exemplo: O número trinta é representado no sistema de numeração decimal pelo numeral 30, no qual foram utilizados os algarismos 3 e 0.

Voltando à questão do sistema de numeração decimal, um número de numeral (abcd...j) composto por n algarismos
a, b, c, ..., j pode ser representado genericamente por:

(abcd...j) = a.10^n-1 + b.10^n-2 + c.10^n-3 + ... + j.10⁰

onde (abcd...j) possui n algarismos.

Exemplos:

A) Seja o número duzentos e cinqüenta e oito, cujo numeral no sistema decimal é 258. Poderemos escrever:

258 = 2.100 + 5.10 + 8.1 = 2.10² + 5.10¹ + 8.10⁰

B) Seja o número vinte e cinco mil e duzentos, cujo numeral é 25200. Poderemos escrever:

25200 = 2.10⁴ + 5.10³ + 2.10² + 0.10¹ + 0.10⁰

C) Seja o número treze milhões duzentos e quarenta e tres mil trezentos e vinte e cinco, cujo numeral no sistema decimal é
13 243 325. Poderemos escrever:

13243325 = 1.10⁷ + 3.10⁶ + 2.10⁵ + 4.10⁴ + 3.10³ + 3.10² + 2.10¹ + 5.10⁰

2 – O Sistema de numeração binário

Analogamente ao sistema de numeração decimal, que usa os dez algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9 para representar os números na base 10, podemos considerar o sistema de numeração binário, que utiliza os dois algarismos 0 e 1 para representar os números na base 2.

Nota: De uma forma genérica, um sistema de numeração de base b,
com b maior ou igual a 2, será aquele sistema que usará os algarismos 0,1,2,3, ..., b – 1.

Exemplos:

Sistema de base 10: são usados os algarismos 0,1,2,3,...,9.

Sistema de base 8: são usados os algarismos 0,1,2,3,..7. Este sistema também é conhecido como sistema octal.

Sistema de base 2: são usados os algarismos 0 e 1.

Este sistema também é conhecido como sistema binário.

Sistema de base 16: são usados os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 e os símbolos A,b,C,d,E,F para representar os numerais 10,11,12,13,14 e 15, respectivamente.

Como este sistema utiliza as letras A,b,C,d,E,F para representar os numerais 10,11,12,13,14 e 15 respectivamente, alguns numerais escritos na base 16 podem possuir somente letras.

Exemplos:

O numeral 64218 escrito na base 16 fica: FAdA
O numeral 12237514 escrito na base 16 fica: bAbACA
O numeral 186 escrito na base 16 fica: bA
Convido o leitor a comprovar os exemplos acima, após a leitura integral deste texto.

Este sistema também é conhecido como sistema hexadecimal.

Retornando à questão do sistema binário – objetivo deste arquivo - e, sem maiores delongas, usando uma analogia com o sistema de base 10, poderemos escrever o numeral de um número de base 2 na base 10, da seguinte forma:

Dado o número de numeral (abcd...j) composto por n algarismos (todos iguais a 0 ou 1), escrito na base 2, ou seja, utilizando apenas os algarismos ou dígitos 0 e 1, poderemos convertê-lo para a base 10, da seguinte forma:

(abcd...j)₍₂= (a.2^n-1 + b.2^n-2 + ... + j.2⁰) na base 10.

Nota: (abcd...j)₍₂ representa um numeral escrito na base 2, onde a,b,c,d, ...,j são iguais a 0 ou 1.

Exemplos:

101₍₂ = 101 na base 2 = 1.2² + 0.2¹ + 1.2⁰ = 5 (5 escrito na base 10).

111₍₂ = 111 na base 2 = 1.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ = 7 (7 escrito na base 10).

1010₍₂ = 1.2³ + 0.2² + 1.2¹ + 0.2⁰ = 10 (10 escrito na base 10).

10001₍₂ = 1.2⁴ + 0.2³ + 0.2² + 0.2¹ + 1.2⁰ = 17 (17 escrito na base 10).

E para converter um número dado na base 10 para a base 2?

Bem, neste caso, deveremos usar o seguinte algoritmo:

Dividir sucessivamente o número por 2, ...

Para justificar este algoritmo, vamos inicialmente, considerar a base 10.

Seja o numeral 248.

Dividindo 248 sucessivamente por 10, vem, usando a igualdade
Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

248 = 24 x 10 + 8

24 = 2 x 10 + 4

2 = 0 x 10 + 2

Observe os algarismos de baixo para cima: 248

Seja o numeral 1346.

Dividindo sucessivamente por 10, vem, usando a igualdade

Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

1346 = 134 x 10 + 6

134 = 13 x 10 + 4

13 = 1 x 10 + 3

1 = 0 x 10 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 1346

Analogamente, teríamos para escrever um numeral na base 2, ou seja, utilizando-se somente os algarismos 0 e 1:

Exemplo I) Seja o numeral 7 na base 10.

Dividindo sucessivamente por 2, vem, usando a igualdade

Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

7 = 3 x 2 + 1

3 = 1 x 2 + 1

1 = 0 x 2 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 111

Portanto, 7 na base 10 é representado por 111 na base 2.

Exemplo II) Seja o numeral 15 na base 10.

Dividindo sucessivamente por 2, vem, usando a igualdade

Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

15 = 7 x 2 + 1

7 = 3 x 2 + 1

3 = 1 x 2 + 1

1 = 0 x 2 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 1111

Portanto, 15 na base 10 é representado por 1111 na base 2.

Exemplo III) Seja o numeral 12 na base 10:

Dividindo sucessivamente por 2, vem, usando a igualdade

Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

12 = 6 x 2 + 0

6 = 3 x 2 + 0

3 = 1 x 2 + 1

1 = 0 x 2 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 1100

Portanto, 12 na base 10 é representado por 1100 na base 2.

Exemplo IV) Seja o numeral 260 na base 10:

Dividindo sucessivamente por 2, vem, usando a igualdade

Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

260 = 130 x 2 + 0

130 = 65 x 2 + 0

65 = 32 x 2 + 1

32 = 16 x 2 + 0

16 = 8 x 2 + 0

8 = 4 x 2 + 0

4 = 2 x 2 + 0

2 = 1 x 2 + 0

1 = 0 x 2 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 100000100

Portanto, 260 na base 10 é representado por 1100000100 na base 2.

Exemplo V) Seja o numeral 35:

Dividindo sucessivamente por 2, vem, usando a igualdade
Dividendo = Quociente x Divisor + Resto:

35 = 17 x 2 + 1

17 = 8 x 2 + 1

8 = 4 x 2 + 0

4 = 2 x 2 + 0

2 = 1 x 2 + 0

1 = 0 x 2 + 1

Observe os algarismos de baixo para cima: 100011

Portanto, 35 na base 10 é representado por 100011 na base 2.

Agora, como exercício, converta os seguintes numerais escritos na base 10, para a base 2:

a) 100

b) 26

c) 9

d) 225

Respostas:

a) 1100100

b) 11010

c) 1001

d) 11100001

Nota: os computadores digitais utilizam o sistema de numeração na base 2, daí a sua importância estratégica.

Paulo Marques – 29/01/2003 - Feira de Santana - BA .