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9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99...9999 |
1 – Determine a soma seguinte em função de n:
S = 10 + 102 + 103 + ... + 10n
Solução:
Verificamos tratar-se de uma progressão
geométrica – PG, de primeiro termo 10 e razão 10, com n
termos. Aplicando diretamente a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma
PG, vem imediatamente:
2 – Determine a soma seguinte em função de n:
S = 9 + 99 + 999 + 9999 + 99999 + ... + 99...9999 , onde a última parcela
possui n algarismos iguais a 9.
Solução:
Observe que poderemos reescrever a igualdade, na forma:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n
–1)
lembrando que 100 = 102, 1000 = 103, etc
Lendo atentamente o segundo membro da igualdade acima, poderemos perceber que
o número 1 aparece n vezes, já que ele aparece em cada uma das n parcelas.
Assim, poderemos escrever:
S = 10 + 100 + 1000 + ... + 10n – 1.n, ou na sua forma
equivalente:
S = (10 + 102 + 103 + ... +
10n) – n
Ora, a parte em vermelho corresponde à soma cujo resultado já encontramos no
exercício anterior. Substituindo, fica:
que é a fórmula procurada.
Paulo Marques, Feira de Santana, 06 de julho de 2002.