Derivadas II
1 - Vimos na lição anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:
Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber
deduzi-las, quando necessário.

Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos
y ' , f ' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.

FUNÇÃO

DERIVADA

y = k , k = constante

y ' = 0

y = k.x

y ' = k

y = x

y' = 1

y = xn

y ' = n.x n - 1

y = a x , 1 ¹ a > 0

y ' = a x . ln a

y = e x

y ' = e x

y = sen(x)

y ' = cos(x)

y = cos(x)

y ' = - sen(x)

y = tg(x)

y ' = sec2 (x)

y = u + v

y ' = u' + v'

y = u.v

y' = u'.v + u.v'

y = u / v , v ¹ 0

y' = (u'.v - u.v') / v2
y = log a x
y´ =(1/x).logae
y = ln x
y´ = 1/x

Notas:
a) e = base do sistema de logaritmos neperianos, um número irracional  de valor aproximado e @ 2, 718
b) u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x.

Exemplos:

a) y = 1000 Þ y ' = 0
b) y = 200x Þ y ' = 200
c) y = x5 Þ y ' = 5x4
d) y = x + sen(x) Þ y ' = x ' + (senx) ' = 1 + cos(x)
e) y = x3 + x2 Þ y ' = 3x2 + 2x
f) y = sen(x) + cos(x) Þ y ' = cos(x) - sen(x)
g) y = 1 / x Þ y ' = (1'.x - 1. x') / x2 = - 1 / x2
h) y = x.sen(x) Þ y ' = x'. sen(x) + x . (senx)' = sen(x) + x.cos(x)
i) y = x + tg(x) Þ y ' = 1 + sec2 (x)
Agora determine a derivada da função y = x2.tg(x).
Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]2
2 - Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x0
Considere a figura abaixo:
 

Seja determinar a equação da reta r tangente à curva y = f(x), no ponto x = x0.
Já sabemos da aula anterior , que tg b = f '(x0) , onde b é o ângulo formado pela reta r com o eixo dos x e f '(x0) é o valor da derivada da função y = f(x) no ponto de abscissa x = x0.
Também já sabemos da Geometria Analítica que o valor da tg b é igual ao coeficiente angular m da reta r , ou seja: m = tg b . Como já sabemos da Analítica que a equação da reta r, é 
y - y0 = m(x - x0) , vem imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por:
y - y0 = f '(x0) (x - x0)
Exemplo:

Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função
y = f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abscissa x = 0 ?

Ora, f '(x) = 12x2 + 6x + 1.
Portanto, a derivada no ponto de abscissa x = 0, será: f '(0) = 12.02 + 6.0 + 1 = 1
Logo, f ' (0) = 1.
Portanto, para achar a equação da reta tangente no ponto de abscissa x = 0, basta agora, determinar o valor correspondente de y da função, para x = 0.
Teremos: x = 0 Þ y = f(0) = 4.03 + 3.02 + 6.0 + 5 = 5
Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que:
y - 5 = 1 . (x - 0) \ y - 5 = x \ y = x + 5 .
Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x3 + 3x2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é
y = x + 5.
Agora resolva este:

Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x3 ,
no ponto P de abscissa x = 2.
Resposta: y = 12x - 16.
Recomendamos visitar os arquivos seguintes:
Funções
Trigonometria

Paulo Marques, 28 de janeiro de 2000 – Feira de Santana - BA
VOLTAR
CONTINUAR