Determinando o número de algarismos

Determine o número de algarismos do número N = 2¹² . 5⁸

Solução:

Tomemos o logaritmo decimal de ambos os membros da igualdade:
log N = log (2 ¹² . 5 ⁸ )

Aplicando as propriedades usuais dos logaritmos, vem:

log N = log 2 ¹² + log 5 ⁸
log N = 12 . log 2 + 8 . log 5

Mas, 5 = 10 / 2, logo:

log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2)
log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 – log 2)

Mas, log 10 = 1, de onde vem:
log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2)

Desenvolvendo o segundo membro , fica:
log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2

Simplificando, teremos:
log N = 4 . log 2 + 8

Tomando o valor aproximado do logaritmo decimal de 2 que é igual a  log 2 = 0,3010 e substituindo, fica:

log N = 4 . 0,3010 + 8 = 1,2040 + 8 = 9,2040
log N = 9,2040

Daí tiramos da definição de logaritmo :

N = 10 ^9,2040 = 10 ⁹ . 10 ^0,2040

É  claro que  o número 10 ^0,2040  é um número entre 1 e 10 pois   10 ⁰ < 10 ^0,2040 < 10 ¹ , ou seja:
1 < 10 ^0,2040 < 10  e,   portanto, possui apenas um dígito. Claro que este número multiplicado por 10 ⁹ resultará num número seguido de 9 zeros, portanto, ele terá 10 algarismos.

Agora resolva este:

Quantos algarismos possui o número 1024¹⁰²⁴ ?
Sugestão: observe que 1024 = 2 ¹⁰
Resposta: 3083 algarismos

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Paulo Marques,  Feira de Santana - BA, 09 de janeiro de 2003

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