Achando o número de algarismos É altamente recomendável que você revise antes LOGARITMOS, a não ser que você não tenha dúvidas sobre as suas propriedades operatórias. Caso você clique no link acima, para retornar à esta página, clique em Voltar no seu browser. De qualquer forma, para entender as soluções apresentadas a seguir, basta saber que para N > 0 e 0 < b < 1, são válidas as seguintes propriedades e definições:
a) se log b N = x então b x = N.
Exemplo: se log 3 81 = 4 então 34 = 81. A recíproca também é verdadeira ou seja:
se 34 = 81 então log 3 81 = 4.
b) log b N k = k . log b N
Exemplo: log 2 43 = 3.log 2 4. Observe que ambos os membros são iguais a 6 pois:
log 2 43 = log 2 64 = 6 porque 26 = 64.
3.log 2 4 = 3.2 = 6 porque log 2 4 = 2 pois 22 = 4.
c) o logaritmo decimal de N , é o logaritmo de N na base 10 e indica-se simplesmente
log N, onde subtende-se que a base b é igual a 10.
d) se log N = k então 10k = N
Exemplo: se log 100 = 2 então 102 = 100 e a recíproca também é verdadeira ou seja, se 102 = 100 então log100 = 2.
e) se o logaritmo decimal de um número N for igual ao número decimal da forma c,m onde c é a parte inteira e 0,m a parte decimal , o número N possui c + 1 algarismos na sua parte inteira. Isto pode ser facilmente provado, mas não o faremos aqui. Se quiser, visite o arquivo logaritmos e veja o porquê. Caso você clique no link anterior, para retornar a esta página, clique em Voltar no seu browser.
Nota: c é chamado característica e 0,m é chamado de mantissa do logaritmo decimal.
Exemplos:
log 1000 = 3,0000 pois 103,0000 = 1000 (observe que c = 3 e N = 1000 possui 4 algarismos, ou seja 3 + 1 = 4 algarismos).
log 10000 = 4,0000 pois 104,0000 = 10000 (observe que neste caso c = 4 e N = 10000 possui 5 algarismos, ou seja 4+1 = 5 algarismos).
Bem, vamos aos exercícios resolvidos:
1) Qual o número de algarismos de 22000 ?
Solução:
Seja x = 22000 . Podemos escrever: log x = log 22000 e daí, log x = 2000 . log2 .
Ocorre que log 2 @ 0,3010 ou seja, o logaritmo decimal de 2 é igual aproximadamente a 0,3010.
Nota: o logaritmo decimal de 2 ou seja, log 2 é, na verdade, um número irracional e, por isto, só poderemos conhecer os seus valores aproximados, pois log 2 = 0,30102999566398119521373889472449... é formado por um número infinito de casas decimais. O valor acima foi obtido na calculadora científica do Windows.
Os logaritmos decimais são normalmente obtidos das tábuas de logaritmos ou através de calculadoras científicas. Nas provas de vestibulares entretanto, sempre que se faz necessário o conhecimento do logaritmo decimal de um número para resolver determinada questão, o seu valor aproximado é geralmente informado no corpo da prova.
Vale a pena entretanto, memorizar os seguintes valores aproximados dos logaritmos decimais: log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.
Então, retornando ao exercício:
x = 22000
log x = log 22000 = 2000 . log 2
log x = 2000.log 2 = 2000.0,3010 = 602,0000 e, como a parte inteira do logaritmo decimal de x = 22000 é igual a 602, o número x possui 602 + 1 = 603 algarismos.(veja o item (e) acima).
Resposta: 22000 possui 603 algarismos.
2) Qual o número de algarismos de 321000 ?
Solução:
Seja x = 321000. Observe que poderemos escrever x = (25)1000 = 25000
Portanto, x = 25000 e, aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, fica:
log x = log 25000 = 5000 . log 2 e como já sabemos que o valor aproximado de log 2 é 0,3010, vem:
log x = 5000 . 0,3010 = 1505, 0000
Portanto, pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, o número 321000 possui 1505 + 1 = 1506 algarismos.
Resposta: 321000 possui 1506 algarismos.
3) No ano de 1938, o matemático americano Edward Kasner (1878 – 1955), criou a expressão googol (aportuguesada para gugol), para expressar o número 10 elevado a 100, ou seja, segundo o professor Kasner, 1 gugol = 10100. Qual o número de algarismos de 100 gugóis?
Solução:
Sendo 1 gugol igual a 10100 , 100 gugóis será :
x = 100 . 10100 = 102 . 10100 = 10102
x = 10102
Aí não precisa nem aplicar logaritmos, pois 10102 é igual ao número 1 seguido de 102 zeros. Portanto, 10102 possui 103 algarismos.
Nota: 10n para n natural possui n + 1 algarismos (1 seguido de n zeros).
Agora resolva este:
Qual o número de algarismos de 6464 ?
Resposta: 116
Paulo Marques, Feira de Santana - BA - 05 de setembro de 2003 - editado em 23/3/12.