Logaritmo no Ceará

UECE – 1989) Se x1 e x2 são as raízes da equação 3 2logx3 = x logx 3x , então 9(x1 + x2) é igual a:
A) 22
B) 24
C) 28
D) 26
E) 29

Solução:

Se necessário, revise logaritmos.

Nota: UECE – Universidade Estadual do Ceará

Lembrando uma das propriedades imediatas dos logaritmos:
a logab = b , para 0 < a ¹ 1 e b > 0 , vem imediatamente que x logx 3x = 3x.
Logo, a equação dada fica:
3 2logx3 = 3x

Aplicando a definição de logaritmo, segundo a qual se an = b então n = logab, teremos então:
2log x3 = log3 3x

Usando a propriedade de logaritmo de uma potência, ou seja, log b an = n.log b a , vem:
log x32 = log3 3x ou seja, log x9 = log33x

Lembrando que log b a = log a / log b, onde log a e log b são os logaritmos decimais de a e b respectivamente, poderemos escrever:
log 9 / log x = log 3x / log 3

Como log 3x = log 3 + log x (pela propriedade de logaritmo de produto) , vem:
log 9 / log x = (log 3 + log x) / log 3

Já sabemos que se a / b = c / d então a . d = b . c (propriedade fundamental das proporções).
Então, poderemos escrever:
log 9 . log 3 = log x (log 3 + log x)
log 32 . log 3 = log x (log 3 + log x)
2.log3 . log3 = log x (log 3 + log x)
2.(log3)2 = log3.logx + (logx)2

Igualando a zero, fica: (logx)2 + log3.logx – 2.(log3)2 = 0 , que é uma equação do segundo grau em logx, da forma ay2 + by + c = 0 onde y = logx, a = 1, b = log3 e c = - 2.(log3)2 .
Aplicando a fórmula de Bhaskara para a solução da equação do segundo grau ay2 + by + c = 0 , vem:

y = (-b ± ÖD) / 2 a onde D = b2 – 4ac (conhecido como discriminante) .
Teremos então D = (log3)2 – 4.1.[- 2(log3)2 ] = (log3)2 + 8(log3)2 = 9.(log3)2
Então, substituindo os valores conhecidos de D, a, b e c fica:

y = [- log3 ± Ö 9(log3)2] / 2.1 = [ -log3 ± 3.log3] / 2
Portanto as duas raízes serão:
y1 = [-log3 + 3log3] / 2 = 2log3 / 2 = log3
y2 = [-log3 – 3log3] / 2 = -4log3 / 2 = -2log3

Como y = logx , vem substituindo:
logx = log3 \ x = 3
logx = -2log3 = log 3 –2 = log (1/32) = log (1/9) \ x = 1/9.
Nota: lembre-se que log bn = n.logb e que a-n = 1/an.

Ora, sendo x1 = 3 e x2 = 1/9, o valor procurado 9(x1 + x2) será então igual a:
9(3 + 1/9) = 9.3 + 9.1/9 = 27 + 1 = 28, o que nos leva tranqüilamente à alternativa C.


UFC – 1991 – 2ª fase) Sejam x e y números reais satisfazendo às equações x2y + y2 = 12x e
logxy + logyx = 2, determine o valor do produto xy.

Solução:

Nota: UFC – Universidade Federal do Ceará

Como já sabemos que logba = loga / logb, poderemos escrever:
(logy / logx) + (logx / logy) = 2

Efetuando a soma indicada no primeiro membro, obteremos:
[(logx)2 + (logy)2] / logx.logy = 2

Daí vem: (logx)2 + (logy)2 = 2.logx.logy
Igualando a zero, fica:
(logx)2 + (logy)2 – 2.logx.logy = 0

Arrumando convenientemente: (logx)2 – 2.logx.logy + (logy)2 = 0

Repare que o primeiro membro é o quadrado de uma soma da forma a2 – 2ab + b2 que sabemos ser
igual a (a – b)2 (produto notável).

Como a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 , é fácil concluir que se (logx)2 – 2.logx.logy + (logy)2 = 0, então
logx – log y = 0, de onde tiramos logx = logy \ x = y.
Substituindo então y por x (já que são iguais) na segunda equação dada no problema x2 y + y2 = 12x virá:
x2.x + x2 = 12x

Desenvolvendo e simplificando, vem:
x3 + x2 – 12x = 0
Colocando x em evidencia, teremos: x(x2 + x – 12) = 0

Daí resulta que x = 0 ou x2 + x – 12 = 0.
Observe que como temos logx, o valor x = 0 não serve ao problema , já que não existe log0.

Resolvendo a equação do segundo grau x2 + x – 12 = 0, obteremos as raízes x = 3 ou
x = -4. Como temos logx, o valor x = -4 não serve ao problema, pois não existe logaritmo de número negativo. A solução é portanto x = 3. Como foi visto que x = y, teremos também y = 3.
Portanto, o produto xy procurado será igual a xy = 3.3 = 9.

Agora resolva este:

UECE – 1991) Se x1 e x2 são as raízes da equação log3(9 x + 81) = 1 + x + log310, então x1 + x2 é igual a:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8

Resposta: B

Dica: passe log310 para o primeiro membro e aplique a propriedade de logaritmo de um quociente:
log a – log b = log (a/b). Em seguida aplique a definição de logaritmo, ou seja, se logba = n então bn = a . Se tudo correr bem, você chegará a uma equação do tipo (3x)2 – 30.3x + 81 = 0 .
Faça 3x = y, obtendo a equação do segundo grau y2 – 30y + 81 = 0, cujas raízes são y = 27 ou y = 3 e, daí virão os valores x1 e x2 procurados.

Paulo Marques, 29 de maio de 2004 – Feira de Santana – BA.

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