Geometria II - Introdução
INTRODUÇÃO
Conceito primitivo - aquele que não necessita de definição.
Exemplos: conjunto, elemento de um conjunto.
Para o estudo da Geometria Plana, consideraremos três conceitos primitivos:
O ponto, a reta e o plano. Estes entes geométricos, na verdade, não possuem existência física e, poderíamos até dizer, que são meramente frutos da imaginação. A marca da ponta de um lápis numa folha de papel, nos dá por exemplo, a ideia de um ponto, embora não seja um ponto, pois se quisermos, poderemos até calcular a sua área!
Não obstante este aspecto, o ponto, a reta e o plano, são os pilares da construção da Geometria.AXIOMA
Chama-se axioma ou postulado, a toda proposição aceita sem demonstração.
Podemos citar três axiomas básicos:
A1) a reta tem infinitos pontos;
A2) dois pontos distintos determinam uma única reta;
A3) por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela a essa reta. (conhecido como o Axioma das Paralelas ou Axioma de Euclides).TEOREMA
É uma proposição que se deduz de um axioma, ou de uma proposição já conhecida.
Os teoremas podem ser enunciados na forma H Þ T , onde H é a hipótese e T é a tese. A hipótese é o conjunto das proposições que se admitem verificadas, e a tese é o que se pretende concluir como consequência da hipótese conjunto de raciocínios feitos para concluir a tese, constitui a demonstração do teorema.
A demonstração de um teorema pode ser feita de duas maneiras distintas:
a) direta : partindo-se da veracidade da hipótese, chega-se a concluir pela veracidade da tese.
b) indireta (ou por redução ao absurdo): quando se demonstra que a negação da tese tem como consequência a negação da hipótese. Tal método de demonstração, tem como fundamento o fato de que a proposição H Þ T (que lê-se "Se H então T " ) é equivalente a .~ T Þ ~ H , (que lê-se:
"Se não T então, não H " ) equivalência provada facilmente através da Lógica Matemática.
Para retornar clique em "VOLTAR" em seu browser.Exemplo:
Provar o seguinte teorema por redução ao absurdo:
Se r1 e r2 são duas retas distintas, então r1 intercepta r2 em no máximo um ponto.
Demonstração: Com efeito, temos:
Hipótese: r1 ¹ r2
Tese: r1 e r2 se interceptam em no máximo um ponto.
Supondo-se a negação da tese, ou seja, r1 e r2 se interceptam em mais de um ponto, concluiríamos pelo axioma A2 acima , que r1 e r2 seriam coincidentes, já que por dois pontos distintos passa uma única reta. Ora, admitir que r1 e r2 seriam coincidentes , é um absurdo, pois contraria a hipótese de que r1 e r2 sejam distintas. Fica portanto demonstrada a veracidade do teorema.
Não é necessário, evidentemente, que todos os teoremas sejam escritos na forma de hipótese e tese. Indiferente à forma em que um teorema é escrito, torna-se necessário estar claro qual é a hipótese e qual é a tese. Assim, por exemplo, o teorema anterior poderia ser enunciado na forma: "Duas retas distintas se interceptam no máximo em um ponto" onde a hipótese e a tese estão perfeitamente identificadas, conforme vimos anteriormente.
É muito importante entretanto, sermos capazes de identificar claramente qual a hipótese e qual a tese num teorema dado, porque se não soubermos fazê-lo, é porque não compreendemos exatamente o que o teorema afirma.COROLÁRIO
É um novo teorema que é consequência ou caso particular de um teorema conhecido.LEMA
É um teorema preliminar dado com a finalidade de facilitar a demonstração de outro teorema.SEMI-RETA
Um ponto qualquer de uma reta, a divide em duas partes denominadas semi-retas. Dada uma reta r e um ponto P Î r , ficam definidas duas semi-retas com origens coincidentes no ponto P.SEGMENTO DE RETA
Se numa reta r considerarmos dois pontos distintos A e B , podemos definir o segmento de reta AB , como sendo o conjunto dos pontos da reta r situados entre A e B, incluindo-se estes, sendo A e B chamados extremos do segmento AB.FIGURA GEOMÉTRICA
Chama-se figura geométrica a todo e qualquer conjunto de pontos.
Por conseguinte, os pontos, as retas, as linhas, as superfícies, os sólidos, são figuras geométricas.
O conjunto de todos os pontos possíveis, chama-se ESPAÇO e, conclui-se pois que as figuras geométricas estão portanto contidas no espaço.Dados dois pontos quaisquer P e Q de uma figura geométrica, se o segmento PQ estiver contido na figura, diz-se que a figura é CONVEXA. Caso contrário, diz-se que a figura é CÔNCAVA.
O círculo, por exemplo, é uma figura convexa, já a circunferência , é uma figura côncava. Observe que o círculo é a união de uma circunferência com o seu interior.FIGURA PLANA
É aquela cujos pontos pertencem todos a um mesmo plano. A Geometria plana, estuda naturalmente estes tipos de figuras.SEMIPLANO
Uma reta r qualquer de um plano b , divide esse plano em dois semiplanos b 1 e b 2 , sendo a reta r a origem dos dois semiplanos.Paulo Marques - Feira de Santana - BA