Lógica Matemática I 1 - INTRODUÇÃO
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.
p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )
q: " 3 + 5 = 2 " ( F )
r: " 7 + 5 = 12" ( V)
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )
t: " O Sol é um planeta" ( F )
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )
2 - Símbolos utilizados na Lógica Matemática
~
não
Ù
e
Ú
ou
®
se ... então
«
se e somente se
|
tal que
Þ
implica
Û
equivalente
$
existe
$ |
existe um e somente um
"
qualquer que seja
3 - O Modificador Negação
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .4 - Operações lógicas
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos Ù , Ú , ® e « , dando origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: pÙ q , pÚ q , p® q , p« q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior).
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.
Conjunção: pÙ q (lê-se "p e q " ).
Disjunção: pÚ q (lê-se "p ou q ") .
Condicional: p® q (lê-se "se p então q " ).
Bi-condicional: p« q ( "p se e somente se q") .Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE.
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:
p
q
p Ù q
p Ú q
p® q
p « q
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:
- a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras.
- a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas.
- a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa.
- a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.
Ex.: Dadas as proposições simples:
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)
Temos:
pÙ q tem valor lógico F (ou 0)
pÚ q tem valor lógico V (ou 1)
p® q tem valor lógico V (ou 1)
p« q tem valor lógico F (ou 0).Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!
As proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), estão associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado.
Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores!
Seria demais imaginar que a proposição p Ù q esteja associada a um circuito série e a proposição p Ú q a um circuito em paralelo?
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que ajudaram a mudar o mundo!.Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 01/01/1995