Dois problemas simples e típicos de concursos

Os problemas a seguir foram enviados por um visitante do site, solicitando a resolução.

1) Se
x + y = 1
a + b = -1
c - d = 1
então o valor de E = acx - ady + bcx - adx + acy - bdy + bcy - bdx é igual a:

A) 0
B) 1
C) -1
D) a + b + c
E) nenhuma das respostas anteriores - NRA

Solução:

Sendo E = acx - ady + bcx - adx + acy - bdy + bcy - bdx , poderemos reescrever como segue, enxergando x+y como referência::
E = ac(x + y) - ad(x + y) + bc(x + y) - bd(x + y)

Colocando x + y em evidência, vem tranquilamente:
E = (x + y)(ac - ad + bc - bd)
E = (x + y) [a(c - d) + b(c - d)]

Agora, colocando (c-d) em evidência, virá:
E = (x + y) (c - d) (a + b)

Ora, como x + y = 1, c - d = 1 e a + b = -1, vem finalmente por mera substituição dos valores:

E = 1.1.(-1) = -1, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.

Elementar e simples, portanto!

2) Lia obteve um desconto de x% na compra de um produto que custava x reais e pagou por ele exatos 16 reais. Se o preço do produto sem desconto era superior a 50 reais, o valor do desconto obtido por Lia foi de:

A) R$32,00
B) R$16,00
C) R$64,00
D) R$81,00
E) R$9,00

Solução:

Conforme o enunciado poderemos escrever:

x - x%.x = 16 com x > 50 onde x é o preço do produto.
Lembrando que x% = x/100 vem por substituição:

x - (x/100).x = 16
Efetuando a multiplicação indicada, fica:
x - x²/100 = 16
Multiplicando ambos os membros por 100 fica:

100x - x² = 1600 que é uma equação do segundo grau.

Arrumando convenientemente, vem: -x² + 100x - 1600 = 0
Multiplicando ambos os membros por (-1) teremos: x² - 100x + 1600 = 0 cujas raízes são x = 80 ou x = 20.

Ocorre que o enunciado especifica que x > 50; portanto, só a raiz x = 80 satisfaz ao problema.
Lembrando que o problema não solicita o preço do produto e, sim o valor do desconto (o qual já sabemos ser igual a x%.x) vem, finalmente:
Desconto = x%.x = 80%.80 = (80/100).80 = 6400/100 = 64 ou seja, o desconto concedido a Lia foi igual a 64 reais, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.

Paulo Marques - 21/08/2013 - Feira de Santana/BA.

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