Uma potencia de potencia e uma venda com lucro

Nota: os enunciados dos dois problemas a seguir, foram enviados a mim atrav�s e-mail de dois visitantes do site. Como nem sempre tenho tempo de responder a todos os e-mails que recebo, normalmente publico as solu��es solicitadas na forma de arquivo. Tenho procedido assim j� h� muito tempo pois, entendo que universalizando as solu��es no site, estarei ajudando a um n�mero maior de pessoas. Este � o 320� arquivo publicado no site, que este ano estar� completando 10 anos! Sim, os primeiros arquivos foram publicados em 1995, embora em outro provedor! Lembrem-se que em 1995 a INTERNET estava apenas come�ando no BRASIL.

1 - O n�mero N � o n�mero 1 seguido de 100 zeros. Nestas condi��es, o n�mero N ^N � o n�mero 1 seguido de:
a) 100 N zeros 
b) N² zeros 
c) 102N zeros 
d) N^N zeros 
e) 110N zeros

Solu��o:

O n�mero 10^m , com m inteiro positivo, � um n�mero formado por 1 seguido de m zeros.

Exemplos:
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1 000
10⁴ = 10 000
10⁵ = 100 000
...................................
10¹⁰ = 10 000 000 000
e assim sucessivamente.

Aproveitando a oportunidade, relembramos que o n�mero 10 ^{� m} , com m inteiro positivo, � um n�mero formado por 1 precedido de m zeros.
Exemplos:
10 ^{� 1} = 0,1
10 ^{� 2} = 0,01
10 ^{� 3} = 0,001
10 ^{� 4} = 0,0001
.............................
10 ^{� 8} = 0,00000001
e assim sucessivamente.

Voltando � quest�o proposta:

Sabemos que o n�mero 1 seguido de 100 zeros � igual a 10¹⁰⁰ , ou seja, N = 10 ¹⁰⁰ .

Portanto, como 10¹⁰⁰ = N, o n�mero N ^N ser� igual a:



A conclus�o acima baseia-se na seguinte propriedade das pot�ncias: (a ^m)ⁿ = a ^m.n , conhecida com pot�ncia de pot�ncia.

Ora, sabemos que o n�mero 10 ^m com m inteiro positivo � um n�mero formado por 1 seguido de m zeros. Logo, 10^100N ser� um n�mero formado por 1 seguido por 100N zeros, o que nos leva tranq�ilamente � alternativa A.

Agora resolva este:

O n�mero M � o n�mero 1 seguido de 1000 zeros. Nestas condi��es, o n�mero M ^M � o n�mero 1 seguido de:
a) 100 M zeros 
b)1000M zeros 
c) 1002M zeros 
d) M^M zeros 
e) 1100M zeros

Resposta: B

2 � Um comerciante comprou dois carros de marcas A e B por um pre�o total de
R$ 27000,00. Vendeu A com lucro de 10% e o B com preju�zo de 5%. Se no total o comerciante teve um lucro de R$ 750,00, determine os pre�os de aquisi��o dos carros.

Solu��o:

Sejam x e y os pre�os de aquisi��o dos carros de marcas A e B respectivamente. Naturalmente teremos que x + y = 27000.

Pelo enunciado, os carros foram vendidos da seguinte forma:
A: com lucro de 10%, ou seja:
ao pre�o de (100% + 10%).x = 110%.x = (110/100).x = 1,10x

B: com preju�zo de 5%, ou seja:
ao pre�o de (100% - 5%).y = 95% . y = (95/100).y = 0,95y
Da�, � v�lido escrever: 1,10 x + 0,95 y = 27750, j� que o comerciante lucrou R$750,00 sobre os R$27000,00 gastos na compra dos dois carros.

Temos ent�o um sistema de equa��es do primeiro grau formado pelas equa��es:

x + y = 27000
1,10x + 0,95y = 27750

Da primeira equa��o vem que y = 27000 � x . Substituindo na segunda, fica:

1,10x + 0,95(27000 � x) = 27750

Efetuando as opera��es indicadas, vem:

1,10x + 0,95.27000 � 0,95x = 27750

1,10x + 25650 � 0,95x = 27750

1,10x - 0,95x = 27750 � 25650
0,15x = 2100
x = 2100 / 0,15 = 210000/15 = 14000

Justificando a opera��o acima, para aquelas milhares de pessoas que j� esqueceram como dividir um n�mero por um n�mero decimal:

A regra b�sica para dividir decimais � simples: basta igualar o n�mero de casas decimais dos dois n�meros dados e dividir os n�meros resultantes como se fossem inteiros. No presente caso, como 0,15 possui duas casas decimais, escrevemos 2100 como 2100,00 (igualamos o n�mero de casas decimais) , desprezamos as v�rgulas, o que resulta 210000/15 = 14000.

Exemplos:

a) 2 / 0,002 = 2,000 / 0,002 = 2000 / 2 = 1000
b) 2,56 / 0, 0001 = 2,5600 / 0,0001 = 25600 / 1 = 25600
c) 0,06 / 0, 003 = 0,060 / 0,003 = 60 / 3 = 20
d) 0,04 / 0,0002 = 0,0400 / 0,0002 = 400 / 2 = 200

N�o resisti a fazer este coment�rio, porque ap�s a populariza��o do uso das calculadoras eletr�nicas no Brasil (por volta de 1970), muita gente come�ou a esquecer as regras das opera��es elementares. Fazer contas sem usar calculadoras, ainda � um bom exerc�cio para religar neur�nios !. � conveniente ressaltar que acho muito importante e adequado o uso das calculadoras mas, n�o se deve nunca perder de vista tamb�m o exerc�cio do uso do c�rebro, d�diva da Natureza.

Voltando � quest�o:
Como x = 14000 e x + y = 27000, resulta que y = 27000 � x = 27000 � 14000 = 13000.

Resposta: os pre�os de aquisi��o dos carros A e B s�o R$14000,00 e R$13000,00, respectivamente.

Agora resolva este:

Um comerciante comprou dois carros usados de marcas X e Y por um pre�o total de
R$ 30000,00. Vendeu X com lucro de 20% e Y com preju�zo de 10%. Se no total o comerciante teve um lucro de R$ 300,00, determine os pre�os de aquisi��o dos carros.

Resposta: X: R$11000,00 e Y: R$19000,00

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 30/03/2004

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