Nota: os enunciados
dos dois problemas a seguir, foram enviados a mim através e-mail de dois
visitantes do site. Como nem sempre tenho tempo de responder a todos os e-mails
que recebo, normalmente publico as soluções solicitadas na forma de arquivo.
Tenho procedido assim já há muito tempo pois, entendo que universalizando as
soluções no site, estarei ajudando a um número maior de pessoas. Este é o 320º
arquivo publicado no site, que este ano estará completando 10 anos!
Sim, os primeiros arquivos foram publicados em 1995, embora em outro provedor!
Lembrem-se que em 1995 a INTERNET estava apenas começando no BRASIL.
1 - O número N é o número 1 seguido de 100 zeros. Nestas condições, o
número N N é o número 1 seguido de:
a) 100 N zeros
b) N2 zeros
c) 102N zeros
d) NN zeros
e) 110N zeros
Solução:
O número 10m , com m inteiro positivo, é um número formado por 1 seguido de m zeros.
Exemplos:
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
...................................
1010 = 10 000 000 000
e assim sucessivamente.
Aproveitando a oportunidade,
relembramos que o número 10 – m , com m inteiro positivo, é um
número formado por 1 precedido de m zeros.
Exemplos:
10 – 1 = 0,1
10 – 2 = 0,01
10 – 3 = 0,001
10 – 4 = 0,0001
.............................
10 – 8 = 0,00000001
e assim sucessivamente.
Voltando à questão proposta:
Sabemos que o número 1 seguido de 100 zeros é igual a 10100 , ou
seja, N = 10 100 .
Portanto, como 10100 = N, o número N N será igual a:
A conclusão acima baseia-se na seguinte propriedade das potências: (a m)n
= a m.n , conhecida com potência de potência.
Ora, sabemos que o número 10 m com m inteiro positivo é um
número formado por 1 seguido de m zeros. Logo, 10100N será um
número formado por 1 seguido por 100N zeros, o que nos leva tranqüilamente
à alternativa A.
Agora resolva este:
O número M é o número 1 seguido de 1000 zeros. Nestas condições, o
número M M é o número 1 seguido de:
a) 100 M zeros
b)1000M zeros
c) 1002M zeros
d) MM zeros
e) 1100M zeros
Resposta: B
2 – Um comerciante comprou dois carros de marcas A e B por um preço total
de
R$ 27000,00. Vendeu A com lucro de 10% e o B com prejuízo de
5%. Se no total o comerciante teve um lucro de R$ 750,00, determine os
preços de aquisição dos carros.
Solução:
Sejam x e y os preços de aquisição dos carros de marcas A e B
respectivamente. Naturalmente teremos que x + y = 27000.
Pelo enunciado, os carros foram vendidos da seguinte forma:
A: com lucro de 10%, ou seja:
ao preço de (100% + 10%).x = 110%.x = (110/100).x = 1,10x
B: com prejuízo de 5%, ou seja:
ao preço de (100% - 5%).y = 95% . y = (95/100).y = 0,95y
Daí, é válido escrever: 1,10 x + 0,95 y = 27750, já que o comerciante
lucrou R$750,00 sobre os R$27000,00 gastos na compra dos dois carros.
Temos então um sistema de equações do primeiro grau formado pelas
equações:
x + y = 27000
1,10x + 0,95y = 27750
Da primeira equação vem que y = 27000 – x . Substituindo na segunda, fica:
1,10x + 0,95(27000 – x) = 27750
Efetuando as operações indicadas, vem:
1,10x + 0,95.27000 – 0,95x = 27750
1,10x + 25650 – 0,95x = 27750
1,10x - 0,95x = 27750 – 25650
0,15x = 2100
x = 2100 / 0,15 = 210000/15 = 14000
Justificando a operação acima, para aquelas milhares de pessoas que já
esqueceram como dividir um número por um número decimal:
A regra básica para dividir decimais
é simples: basta igualar o número de casas decimais dos dois números dados
e dividir os números resultantes como se fossem inteiros. No presente caso,
como 0,15 possui duas casas decimais, escrevemos 2100 como 2100,00 (igualamos
o número de casas decimais) , desprezamos as vírgulas, o que resulta
210000/15 = 14000.
Exemplos:
a) 2 / 0,002 = 2,000 / 0,002 = 2000 /
2 = 1000
b) 2,56 / 0, 0001 = 2,5600 / 0,0001 = 25600 / 1 = 25600
c) 0,06 / 0, 003 = 0,060 / 0,003 = 60 / 3 = 20
d) 0,04 / 0,0002 = 0,0400 / 0,0002 = 400 / 2 = 200
Não resisti a fazer este comentário, porque após a popularização do uso
das calculadoras eletrônicas no Brasil (por volta de 1970), muita gente
começou a esquecer as regras das operações elementares. Fazer contas sem
usar calculadoras, ainda é um bom exercício para religar neurônios !. É
conveniente ressaltar que acho muito importante e adequado o uso das
calculadoras mas, não se deve nunca perder de vista também o exercício do
uso do cérebro, dádiva da Natureza.
Voltando à questão:
Como x = 14000 e x + y = 27000, resulta que y = 27000 – x = 27000 – 14000
= 13000.
Resposta: os preços de aquisição
dos carros A e B são R$14000,00 e R$13000,00, respectivamente.
Agora resolva este:
Um comerciante comprou dois carros usados de marcas X e Y por um preço total
de
R$ 30000,00. Vendeu X com lucro de 20% e Y com prejuízo de 10%. Se no total o
comerciante teve um lucro de R$ 300,00, determine os preços de aquisição
dos carros.
Resposta: X: R$11000,00 e Y: R$19000,00