Achando o último algarismo

1) Qual o último algarismo de 32000 ?

Solução:

Observe que 32000 = (32)1000 = 91000

Ocorre que toda potência inteira de 9 termina em 1, se o expoente for par, ou em 9 se o expoente for ímpar.

Exemplos:
90 = 1, 91 = 9 , 92 = 81 , 93 = 729 , 94 = 6561 , ... , e assim sucessivamente.
Logo, como 32000 = 91000 , sendo 1000 um número par, concluímos que o último algarismo de 32000 , ou seja, o seu algarismo das unidades é igual a 1.

2) Qual o último algarismo de 32003 ?

Solução:

Observe que 32003 = 32002 . 3 = (32)1001 . 3 = 91001 . 3
Já sabemos do exercício 1 que 91001 termina em 9, pois 1001 é ímpar. Logo, ao multiplicar um número terminado em 9 por 3, é evidente que o último algarismo será 7, pois 3x9 = 27. Logo, o último algarismo de 32003 é igual a 7.

3) Qual o último algarismo de 4.32002 ?

Solução:

Observe que 4.32002 = 4.(32)1001 = 4.91001
Como 91001 termina em 9 porque 1001 é ímpar (veja o exercício 1 acima), ao multiplica-lo por 4, resultará em um número terminado em 6, pois 4x9 = 36. Logo, o último algarismo de 4.32002 é igual a 6.

4) Qual o último algarismo de 7.340000 ?

Solução:

Observe que 7.340000 = 7.(32)20000 = 7.920000
Como 920000 termina em 1 porque 20000 é par, é óbvio que ao multiplica-lo por 7, resultará num número terminado em 7, pois 7x1 = 7. Logo, o último algarismo de 7.340000 é igual a 7.

5) Qual o último algarismo de 22000 ?

Solução:

Observe que 22000 = (22)1000 = 41000

Ocorre que toda potência inteira de 4 termina em 4 se o expoente for ímpar ou em 6 se o expoente for par, para expoentes inteiros maiores do que 1. Veja os exemplos a seguir:
42 = 16 , 43 = 64 , 44 = 256 , 45 = 1024 , ... , e assim sucessivamente.
Portanto, como 22000 = 41000 e 1000 é par, concluímos que o último algarismo de 22000  é igual a 6.

6) Qual o último algarismo de 22003 ?

Solução:

Observe que 22003 = 2.22002 = 2.(22)1001 = 2.41001
Como 41001 termina em 4, pois 1001 é ímpar, concluímos que 22003 = 2.41001 termina em 8, pois 2x4 = 8. Logo, 22003 tem 8 como seu último algarismo, ou seja, termina em 8.

7) Qual o último algarismo de 22000 + 22003 ?

Solução:

Observe que 22000 + 22003 = 22000 (1 + 23) = 9.22000 = 9.(22)1000 = 9.41000
Como 41000 termina em 6 pois o expoente 1000 é par (veja exercício 5), concluímos que  9.41000 = 22000 + 22003 irá terminar em 4 pois 9x6 = 54.

8) Qual o último algarismo de 31998 + 32000 ?

Solução:

Observe que:
 31998 + 32000 = 31998(1+32) = 31998.10 = (32)999.10 =10.9999

Logo 31998 + 32000 vai terminar em 0, pois todo número inteiro multiplicado por 10 termina em zero.

Agora resolva estes:

a) Qual o algarismo das unidades de 22004 ?
Resposta: 6

b) Qual o último algarismo de 51000000 ?
Resposta: 5

c) Qual o algarismo das unidades de 21998 + 32000
Resposta: 5

Notas:
1 - o algarismo das unidades de um número inteiro é também o seu último algarismo.
2 - para revisar qual a diferença entre número, numeral e algarismo, clique
AQUI. Para retornar a esta página, clique em Voltar no seu browser.

Paulo Marques, 05 de julho de 2003 - Feira de Santana - BA

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