Os números inteiros: o conjunto Z

Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.

É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.

Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.

Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.

Propriedades dos números inteiros:

1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 
Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.

2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n  [ m igual a n ] (igualdade)
m > n  [ m maior do que n ] (desigualdade)
m < n  [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura:
a ³ b [ a maior do que b  ou a = b ].
a £ b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.

... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Operações em Z

1 – Adição: a + b = a mais b.

A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:

a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10
(-7) + (-6) = - 13

b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.

Exemplos:

(-3) + (+7) = + 4
(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

1.1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.

1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 – Comutativa: a + b = b + a

1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.

1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a  > b então a + c > b + c.

2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.

A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:

a – b = a + (-b)

Exemplos:

10 – (-3) = 10 + (+3) = 13
(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5
(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10


3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +

(+) x (-) =  -

(-) x (+) =  -

(-) x (-) =  +

Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste capítulo, ou seja, o porquê de  MENOS x MENOS ser MAIS!

Exemplos:

(-3) x (-4) = +12 = 12
(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.

3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 – Comutativa: a x b = b x a

3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.

3.6 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro positivo, ou seja, se a  > b então a . c > b . c

3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro negativo, ou seja: a  > b então a . c < b . c

Exemplo:  10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por  (-1) fica  - 10 < - 5. Observe que o sentido da desigualdade mudou.

3.8 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:
A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.
Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição,
vem:
A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]
A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:
8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:
[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 = 

30

Observa-se então que realmente 

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.


4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a ⁿ , onde a será denominado base  e n expoente. Assim é que, por exemplo, 5³ = 5.5.5 = 125, 7¹ = 7, 4³ = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.

Exemplos:

(-2)⁴ = +16 = 16
(-3)² = +9 = 9
(-5)⁴ = +625 = 625
(-1)⁴ = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.

Exemplos:

(-2)³ = - 8
(-5)³ = - 125
(-1)¹³ = - 1

5 – Divisão:  O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.

A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:

(+) : (+) = +

(+) : (-) =  -

(-) : (+) =  -

(-) : (-) =  +

Exemplos:

(–10) : (– 2) = + 5 = 5
(– 30) : (+ 5) = – 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:

R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1

R2) Todo parêntese precedido do sinal –  pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0
– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19
– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16


Exercícios resolvidos

1 – A temperatura de um corpo variou de  – 20º C para 20º C. Qual a variação total da temperatura do corpo?

Solução: Sendo DT a variação total da temperatura, vem:
DT = T_{final –} T_inicial = 20 – (– 20) = 20 + 20 = 40 º C.

2 – Um veículo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou após 50 m. Qual a variação da velocidade até o veículo parar?

Solução: Sendo   Dv a variação total da velocidade, vem:
DV = v_final – v_inicial =   0 – 20 = – 20 m/s.

Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 30 de dezembro de 2001.

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