| Módulo I |
Module or absolute value (Módulo
ou valor absoluto)
"The positive value for a real number, disregarding
the sign". Writen | x| . For example:
| 3| =3; | -4| =4, and | 0| =0.
Módulo ou valor absoluto
"O valor positivo do número real, desprezando-se o sinal.
Escreve-se |
x| . Por
exemplo: | 3| = 3; | -4| = 4,
e | 0| = 0".
1 - INTRODUÇÃO
Genericamente, podemos dizer
que o módulo de um número real, é o número sem o seu sinal.
Assim, o módulo de -7 é 7, o módulo de -5 é 5, ... , etc.
Para representar o módulo de um número real a , usamos a
notação |
a| , que lê-se
módulo de a.
Podemos dizer que módulo é a operação de apagar o sinal,
conforme pode-se perceber nos exemplos acima.
2 - GENERALIDADES
2.1 - Seja x um número real qualquer. Das considerações
do item (1)
acima, seria correto dizer que | x| = x ?. Claro que não! Senão vejamos:
Suponha x = -3; teremos: | -3| = 3 = -(-3) = - x. Portanto para x negativo,
vale a igualdade | x| = -x. Não se esqueça do fato que se x é
negativo, então -x é positivo.
Somente para x positivo ou nulo é que vale a igualdade | x| = x.
Das considerações acima podemos concluir que o módulo ou valor
absoluto de um número real qualquer é sempre positivo ou nulo.
Lembre-se que | 0| = 0.
Exercícios resolvidos.
1 - Qual o conjunto solução da equação | x + 1| + | x - 1| = 10 ?
Solução: Considere a reta numerada abaixo onde -1 e +1 são
os valores que anulam as expressões entre módulo:
Temos que considerar 3 casos:
1º caso: x < -1: neste caso, tanto x -1 como x+1 são negativos,
e portanto:
| x-1| = -(x-1) e | x+1| = -(x+1) . Assim,
substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos
nesse intervalo, vem:
-(x-1) + [-(x+1)] = 10 \ -x + 1 -x -1 = 10 e, portanto x = -5.
2º caso: -1£ x < 1: neste caso, x + 1 é positivo e x -1 é negativo,
e, portanto:
| x+1| = x+1 e | x - 1| = -(x - 1). Assim,
substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos
nesse intervalo, vem:
x + 1 + [-(x - 1)] = 10 e, logo chegamos à igualdade 0.x = 8 que
é impossível, pois não existe divisão por zero. Logo, nesse
intervalo, a equação não tem solução.
3º caso: x ³ 1 : nesse caso, tanto x + 1 quanto x - 1 são
positivos e, portanto, teremos:
| x - 1| = x - 1 e | x + 1| = x + 1; substituindo
as expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse
intervalo, vem:
x - 1 + x + 1 = 10 \ 2x = 10 e, logo x = 5. Portanto, o conjunto solução
da equação dada é: S = { -5, 5 }.
2 - Agora você deve resolver a equação: | 2x + 6| + | 2x - 6| = 80.
Resp: x = -20 ou x = 20 ou S = { -20, 20 }.
3 - Resolva a equação: | x| 2 - 10 | x| + 16 = 0.
Solução: Temos de considerar dois casos:
1º caso: x < 0 : neste caso, já sabemos que | x| = -x. Substituindo as
expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse
intervalo, vem:
(-x)2 - ( - 10x ) + 16 = 0 \ x2 + 10x + 16 = 0, que é uma equação
do 2º grau de raízes -8 e -2 (verifique).
2º caso: x ³ 0 : nesse caso, sabemos que | x| = x . Logo,
substituindo, vem:
x2 - 10x + 16 = 0, que é uma equação do 2º grau de
raízes 2 e 8 (verifique).
Logo, o conjunto solução da equação dada é: S = { - 8, - 2,
2, 8 }.
4 - Resolva a equação: | x| 2 - 20 | x| + 64 = 0.
Resp: S = { -16, -4, 4, 16 }
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - Sendo y = | x - 5| + | 3x - 21| + | 12 - 3x| , se 4 < x < 5, podemos afirmar que:
a) y =14 - x
b) y = x - 14
c) y = 7x + 38
d) y = 0
e) y = 14x
2 - Resolva as seguintes equações
modulares em R, conjunto dos números reais:
a) ½ 2x - 3½ = 5
b) ½ 3x½ = ½ x + 2½
c) ½ x2 - 4½ = 5
Resp:
a) S = {-1, 4}
b) S = {-1/2, 1}
c) S = {-3, 3}
3 - UCSal/BA - O maior valor assumido pela
função y = 2 - ½ x - 2½ é:
a) 1
*b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4 - UCSal/BA - O gráfico da função f de
R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b)
e (c,d), com a < c. Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
*a) 4
b) -4
c) 5
d) -5
e) 0
Paulo Marques, 10 de outubro de 2001 - Feira de Santana - BA