Uma fita de vídeo

Uma fita de vídeo pode ser usada para gravação durante 2 horas em velocidade padrão, ou durante 6 horas em velocidade reduzida. Se uma fita esgotou sua capacidade de gravação em 3 horas, podemos concluir que ela foi usada em velocidade reduzida durante

A) 1 h
B) 1h30min
C) 2h
D) 2h15min
E) 2h30min

Esta questão compareceu no Exame Nacional de Cursos (conhecido popularmente como PROVÃO) - para o curso de MATEMÁTICA - no ano de 2001 - do MEC - Ministério de Educação e Cultura.

Solução:

Vamos usar a seguinte simbologia:
C – comprimento total da fita.
V_p – velocidade padrão
V_r – velocidade reduzida
t_p – tempo de gravação na velocidade padrão, em horas
t_r – tempo de gravação na velocidade reduzida, em horas

Poderemos escrever as quatro igualdades seguintes, com base no enunciado da questão:

( 1 )  V_p = C / 2  \ C = 2.V_p
Justificativa: A fita de comprimento total C leva 2h para terminar a gravação na velocidade padrão V_p . (lembre-se que velocidade = espaço dividido pelo tempo).

( 2 )  V_r = C / 6  \ C = 6.V_r
Justificativa: A fita de comprimento total C leva 6h para terminar a gravação na velocidade reduzida V_r . (lembre-se que velocidade = espaço dividido pelo tempo).

( 3 )  t_r . V_r + t_p . V_p = C
Justificativa: Como só existem duas velocidades possíveis para a gravação da fita de vídeo (2h ou 6h), o tempo intermediário de 3h, só poderá ser alcançado se a fita gravar na velocidade V_r durante o tempo t_r e na velocidade V_p durante o tempo t_p, que somados, dará o comprimento total da fita, que é igual a C.

( 4 )  t_r + t_p = 3
Justificativa: conforme dado do problema, a fita de vídeo foi gravada em 3h e em duas velocidades distintas, durante intervalos de tempo distintos, que somados dá o tempo total de gravação (3h).

De (4) tiramos: t_p = 3 - t_r  

Substituindo o valor de t_p na igualdade (3), vem:

t_r . V_r + (3 - t_r ) .V_p = C
t_r . V_r + 3 . V_p –  t_r . V_p = C   (equação 5)

Observe que a questão pede para calcular o tempo de gravação na velocidade reduzida, ou seja, t_r .
Já sabemos que C = 2.V_p    e     C = 6.V_r  (vide igualdades 1 e 2 acima).
Concluímos  daí que:   2.V_p =  6.V_r   \ V_p = 3.V_r
Substituindo o valor de V_p na  equação 5 acima, fica:

t_r . V_r + 3 . (3.V_r) –  t_r . (3.V_r)  = C
t_r . V_r + 9.V_r –  3.t_r . V_r  = C

Isolando o termo procurado  t_r , vem:

t_r . V_r –  3.t_r . V_r  = C – 9.V_r
- 2.t_r.V_r = C – 9.V_r

Daí tiramos: t_r = (C – 9V_r) / (-2.V_r )

Lembrando que C = 6.V_r (vide igualdade 2 acima), vem finalmente, substituindo:

t_r = (6V_r – 9V_r) / (-2V_r) = (-3V_r) / (-2V_r) = (-3) / (-2) = 3/2 = 1,5 horas ou seja 1h30min, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B.

Nota: 1,5 h = 1h + 0,5h = 1h + 0,5.(60min) = 1h30min

Agora resolva este:

Uma fita de vídeo pode ser usada para gravação durante 2 horas em velocidade padrão, ou durante 6 horas em velocidade reduzida. Se uma fita esgotou sua capacidade de gravação em 4 horas, podemos concluir que ela foi usada em velocidade reduzida durante

A) 1 h
B) 1h30min
C) 2h
D) 2h15min
E) 2h30min

Resposta: C

Veja outro problema similar clicando AQUI.

Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 26 de outubro de 2002.
Ampliado em 26/01/05.