Vestibulares do Brasil IV

ITA 1995 - Para cada n inteiro e positivo, temos que é igual a:

a) (-1)ⁿ.2²ⁿ
b) 2²ⁿ
c) (-1)ⁿ.2²ⁿ
d) (-1)ⁿ⁺¹.2²ⁿ
e) (-1)ⁿ⁺¹.2ⁿ

SOLUÇÃO:
Observe que a expressão binomial dada pode ser escrita como:

Verifique que a expressão binomial acima, lembra o desenvolvimento de um binômio de Newton (1 + i) ⁴ⁿ , onde i é a unidade imaginária, no qual estão faltando alguns termos. Vamos completá-lo:

Agrupando convenientemente as partes real e imaginária da expressão binomial acima, lembrando antes que:
i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = - i, ... , vem:

Voltemos ao binômio de Newton (1 + i)⁴ⁿ.
Observe que podemos escrever:
(1 + i)⁴ⁿ = [(1+i)²]²ⁿ

Como (1 + i)² = 2i, vem:
(1 + i)⁴ⁿ = (2i)²ⁿ = 2²ⁿ . i²ⁿ = 2²ⁿ . (i²)ⁿ = (-1)ⁿ . 2²ⁿ

Vemos, pois, que (1 + i)⁴ⁿ é um número real para todo n inteiro e positivo. Portanto, a parte imaginária da expressão binomial acima é NULA e, então poderemos escrever finalmente:

Ora, o primeiro membro da igualdade acima é exatamente a expressão dada no enunciado da questão.
Portanto, a expressão dada é equivalente a (-1)ⁿ.2²ⁿ , o que nos leva a afirmar que a alternativa verdadeira é a de letra A .

PAULO MARQUES, Feira de Santana - BA - 27 de Fevereiro de 2000.

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