Vestibular X - FUVEST - UNICAMP - ITA

---

FUVEST 93 - 1ª fase 95% da massa de uma melancia de 10kg é constituída por água. A fruta é submetida a um processo de desidratação (que elimina apenas água) até que a participação da água na massa da melancia se reduz a 90%. Determine a massa da melancia após esse processo de desidratação.

Solução:

95% de 10kg = (95/100) . 10 = 0,95 . 10 = 9,5kg
Portanto, na melancia de 10kg, existem 9,5kg de água e 0,5 kg de polpa.
Após a desidratação, a melancia terá 90% de água, conforme enunciado. Logo, sendo x a massa da melancia desidratada em kg, vem: x - 0,90x = 0,5  ou seja: 0,1x = 0,5  de onde vem  finalmente que 
x = 0,5 / 0,1 = 5 / 1 = 5.
Logo, a massa da melancia desidratada será igual a 5kg.

FUVEST 93 - 1ª fase Escolhe-se ao acaso três vértices distintos de um cubo. Calcule a probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma face.

Solução:

Ora, um cubo (também conhecido como hexaedro regular) possui 8 vértices. Logo, o número de formas distintas de se escolher 3 vértices é igual ao número de combinações de 8 elementos tomados 3 a 3, ou seja: C_8,3. Este é o número total de possibilidades e, portanto, o número de elementos do espaço amostral.

Já sabemos que a probabilidade de ocorrer um determinado evento E num espaço amostral U é dada por  p(E) = n(E) / n(U), onde n(E) e n(U) são respectivamente os números de elementos dos conjuntos E e U.

Vamos determinar o número de elementos do evento E: "os vértices pertencem a um a mesma face".

Ora, um cubo possui 6 faces e, em cada face existem 4 vértices. Portanto, o número de elementos do evento E será: 6 . C_4,3.
Logo, a probabilidade pedida será dada por:

Para revisar Análise Combinatória, clique AQUI.
Para revisar Probabilidades, clique AQUI.

FUVEST 94 - 1ª fase Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura. Para isto, recorta-se em cartolina, um setor circular para a superfície lateral e um círculo para a base. Calcule a medida do ângulo central do setor circular.

Considere o cone representado a seguir:

Aplicando o teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo acima, vem imediatamente que: 
g² = 3² + 4² \ g² = 25 \ g = 5

O setor circular visto na figura abaixo, é o desenvolvimento da superfície lateral do cone. 

A medida do raio desse setor é, exatamente a medida da geratriz do cone, ou seja: r = g = 5.

Para obter o comprimento do arco L, basta observar que o arco de comprimento L é exatamente a base do cone, que é um círculo de raio r = 4. Logo, L = 2p r = 2p .4 = 8p

O comprimento do círculo mostrado na figura será igual a 2p .5 = 10p
Podemos então, montar a seguinte regra de três:

Comprimento	Arco
10p ...................................................	360º
8p ...................................................	a
Daí, tiramos facilmente que a = 288º .

FUVEST 94 - 2ª fase É dada a função f definida por: f(x) = log2x - log4(x - 3).  Determinar os valores de x para os quais f(x) £ 2.

Solução:

Observe que:

Substituindo na função dada, vem:
f(x) = log₄x² - log₄(x - 3)
Aplicando a propriedade de logaritmo de um quociente, vem:

Para revisar as propriedades dos Logaritmos, clique AQUI.

É fácil perceber que na função acima, o valor de x é necessariamente maior do que 3, pois sendo x² positivo, x - 3 tem de ser positivo, pois não existe logaritmo de número real negativo. 
Logo, x - 3 > 0 \ x > 3.

Como x > 3 e, portanto, x - 3 é positivo, podemos escrever:
x² £ 16(x - 3)
x² - 16x + 48 £ 0

Vamos resolver esta inequação do 2º grau:

Inicialmente, vamos determinar as raízes da equação do 2º correspondente,
x² - 16x + 48 = 0
Lembrando da forma (S,P) de uma equação do segundo grau, (clique AQUI para revisar), concluímos que as raízes são 4 e 12.
Podemos então traçar o gráfico da função do 2º grau associada: y = x² - 16x + 48

Podemos concluir pelo gráfico acima, que os valores que satisfazem à inequação do 2º grau são tais que 
4 £ x £ 12, o que responde a questão apresentada.

UNICAMP 94 - 2ª fase Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto que uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim desse tempo, fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em x + 3 minutos. Calcular o tempo gasto para encher o tanque.

Solução:

Seja V o volume do tanque.
Do enunciado, conclui-se imediatamente que em 1 minuto, a contribuição de cada torneira será V/12 e V/18 do volume total do tanque, respectivamente.

Podemos então escrever:

(V/12).x + (V/18).(x + 3) = V

Colocando V em evidencia, fica:

V[(1/12).x + (1/18).(x + 3) = V

Cancelando o fator comum V, fica:

(1/12).x + (1/18).(x + 3) = 1

Desenvolvendo, vem:

x/12 + x/18 + 1/6 = 1
x/12 + x/18 = 1 - 1/6
x/12 + x/18 = 5/6

Multiplicando ambos os membros por 36, pois   [m.m.c (12,18,6) = 36], fica:
3x + 2x = 30 \ x = 6
Obs.: m.m.c = mínimo múltiplo comum

Logo, o tempo para a primeira torneira é x = 6 e o tempo para a segunda torneira é
x + 3 = 6 + 3 = 9. 
Conclui-se portanto, que o tempo total gasto, será igual a 6 + 9 = 15.

A resposta é, então, 15 minutos.

UNICAMP 93 - 2ª fase Resolva o seguinte sistema de equações lineares: 2x + y + z + w = 1 x + 2y + z + w = 2 x + y + 2z + w = 3 x + y + z + 2w = 4

Solução:

Somando membro a membro as equações acima, fica:
5x + 5y + 5z + 5w = 10
5(x + y + z + w) = 10 \ x + y + z + w = 2.

Observando atentamente as equações do sistema linear dado, podemos escrever:

Primeira equação: 2x + y + z + w = 1 Û x + (x + y + z + w) = 1
Como x + y + z + w = 2, vem, substituindo:
x + 2 = 1 \ x = - 1.

Analogamente, na segunda equação:
x + 2y + z + w = 2 Û (x + y + z + w) + y = 2 \ 2 + y = 2 \ y = 0.

Na terceira equação:
x + y + 2z + w = 3 Û (x + y + z + w) + z = 3 \ 2 + z = 3 \ z = 1.

Na quarta equação:
x + y + z + 2w = 4 Û (x + y + z + w) + w = 4 \ 2 + w = 4 \ w = 2.

Portanto, a solução do sistema é a quadra ordenada (-1, 0, 1, 2).

Poderíamos também resolver o sistema dado, através de escalonamento.
Para revisar Equações Lineares, clique AQUI.

UNICAMP 93 - 2ª fase De quantas maneiras podem ser escolhidos três números naturais distintos, de 1 a 30, de modo que sua soma seja par?

Solução:

Ora, a soma de 3 números naturais será um número par se, e somente se, os 3 números forem pares, ou se dois forem ímpares e um for par.

Nestas condições, teremos:

De 1 a 30, existem 15 números pares ( e 15 números ímpares).

Realmente, considerando-se a PA acima de primeiro termo 2 e último termo 30, sendo a razão igual a 2, teremos:
30 = 2 + (n - 1) .2 \ n = 15.

Para revisar Progressão Aritmética - PA , clique AQUI.

Voltando à questão:

O número de maneiras de escolher 3 números pares de 1 a 30 é dado por:

O número de maneiras de escolher dois números ímpares e um número par de 1 a 30, será dado por:

Como sabemos que a soma de 3 números naturais será par se e somente se os três números forem pares OU dois forem ímpares e um for par, concluímos que o número procurado é igual a 455 + 1575 = 2030, que é a resposta procurada.
Para revisar Análise Combinatória, clique AQUI.

ITA 93 Um acidente foi presenciado por 1/65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após, é dado por: onde B é a população da cidade. Sabendo que 1/9 da população soube do acidente 3 horas após, então calcule o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia.

Solução:

Pelo enunciado do problema, no tempo t=0, o acidente foi presenciado por 1/65 da população B. Fazendo então t=0 e f(0) = [1/65].B, vem:

[1/65].B = B / [1 + C.e^-kt] de onde conclui-se, efetuando os cálculos: C = 64. (Faça você também! ah ah ah eh eh ...).

Também pelo enunciado do problema, é dito que para t=3,  f(t) = (1/9).B

Substituindo os valores conhecidos, lembrando que C = 64, como já calculamos acima, vem:
[1/9].B = B / [1 + 64.e^-k.3]

Daí, vem:
9 = 1 + 64.e^-3k Þ 1/8 = e^-3k Þ 2^-3 = (e^k)^-3 Þ e^k = 2 Þ k = log_e2 = ln2
Obs: e = base dos logaritmos  neperianos.

Portanto, a função dada no enunciado da questão, poderá ser escrita como:
Obs: Já encontramos C = 64 e k = ln2, portanto:
f(t) = B / [1 + 64.e^{-ln2 . t}]

A função f(t) expressa o número de pessoas que souberam do acidente, no tempo t.

O enunciado pergunta: qual o tempo que passou até que 1/5 da população soubesse da notícia do acidente?.

Ora, basta fazer f(t) = (1/5).B e calcular o valor respectivo de t.

Teremos então:
B/5 = B / [1 + 64.e^{-ln2 . t}] Þ 4 = 64.e^{-ln2 . t} Þ 1/16 = e^{-ln2 . t} Þ 16 = e^{ln2 . t}

Ora, sabemos que e^ln2 = 2

Em caso de dúvida na transformação acima, reveja o capítulo de logaritmos nesta página clicando AQUI.

Portanto, teremos:
16 = 2^t Þ 2⁴ = 2^t , de onde concluímos t = 4.

Logo, a resposta é t = 4 horas.

ITA 96 As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2, então calcule o volume deste paralelepípedo, em cm3 .

Solução:

O volume do paralelepípedo será igual V = x.y.z (produto das 3 dimensões: comprimento, altura e largura).
Temos: x + y + z = 33 .................................................(equação 1)

A área total S_t é igual a S_t = 2(x.y + x.z + y.z) = 694
Portanto, x.y + x.z + y.z = 347 .....................................(equação 2)

Nota: área total = soma das áreas das faces laterais do paralelepípedo, que são retangulares.

Como os lados estão em P.A., poderemos escrever:
P.A. : (x, y, z)

O termo médio y (pelas propriedades da PA) vale: y = (x+z) / 2
Daí, vem: x + z = 2y ......................................................(equação 3)

Temos então as 3 equações seguintes:

x + y + z = 33 ...................... (4)
xy + xz + yz = 347 .............. (5)
x + z = 2y .......................... ..(6)

Substituindo (6) em (4), vem: 2y + y = 3y = 33 \ y = 11.

Substituindo o valor de y em (5) e (6), vem:
11x + xz + 11z = 347 ....... (7)
x + z = 22 ...........................(8)

Arrumando a expressão (7), vem : .............. 11(x + z) + xz = 347
Como x + z = 22, substituindo, temos: ........ 11.22 + xz = 347

Daí, vem: xz = 105 ...................... (9)

Temos de (8) que: x + z = 22 .................... (10)

Das expressões (9) e (10), concluímos que x e z são dois números que somados dá 22 e multiplicados dá 105. Basta resolver o sistema de equações, ou para os mais experientes, concluir que os números são 7 e 15.

Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 7, 11 e 15.

O volume será então: V = 7.11.15 = 1155 cm³

ITA 96 Seja a Î [0, p /2], tal que sen a + cos a = m . Então determine o valor de

Solução:

Quadrando ambos os membros da expressão dada, vem:
(sen a + cos a )² = m² . Desenvolvendo, fica:
sen² a + 2 . sen a . cos a + cos² a = m²
Simplificando, vem: 1 + 2 . sen a . cos a = m² \ 1 + sen 2a = m² e, portanto,

sen 2a = m² - 1

Seguindo o mesmo raciocínio, vamos elevar ambos os membros da expressão dada ao cubo:

Lembrete: (a + b)³ = a³ + b³ + 3(a +b) . ab

Logo:
(sen a + cos a )³ = m³ . 

Desenvolvendo, vem:
sen³ a + cos³ a + 3 (sen a + cos a ) (sen a . cos a ) = m³
Lembrando que sen a + cos a = m e que sen a . cos a = (sen 2a) / 2, e substituindo, fica:
sen³ a + cos³ a = m³ - 3 (m) . (m² - 1) / 2
Revise Trigonometria

Substituindo esses valores encontrados na expressão dada, teremos então:

Que é a resposta procurada.

Paulo Marques - Feira de Santana/BA , 06/11/1999, revisado em 08/09/2001.

---

VOLTAR