A Diretoria de uma empresa tem doze membros. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o presidente e o vice-presidente?

Os agrupamentos são do tipo combinações, já que a ordem dos elementos não muda o agrupamento.
O número procurado é igual a C_{12-2, 5-2} = C _10,3 que calculado é igual a:
C_10,3 = 10! / [3! . (10 - 3)!] = 10! / 3!.7! = 10.9.8.7! / 3.2.1.7! = 10.9.8/3.2.1 = 120
Portanto, podem ser formadas 120 comissões nas quais figuram obrigatoriamente o presidente e o vice-presidente.

Observe que tudo funciona como se as comissões possuíssem 10 elementos e os grupos fossem formados de 3 elementos, já que, dois elementos já foram escolhidos previamente e são fixos em todos os agrupamentos possíveis.

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No exercício anterior, quantas comissões podem ser formadas de modo que em nenhuma delas figure o presidente e o vice-presidente?

Ora, excluindo-se o presidente e o vice-presidente, restam 12 - 2 = 10 membros, que deverão ser agrupados de cinco em cinco.
Logo, o número procurado é igual a C_12-2,5 = C_10,5 que calculado é igual a:
C_10,5 = 10! /[5! . (10 - 5)!] = 10! / 5!.5! = 10.9.8.7.6.5! / 5.4.3.2.1.5! = 10.9.8.7.6 / 5.4.3.2.1 = 720.7.6 / 120 = 6.7.6 = 252
Portanto, podem ser formadas 252 comissões distintas, nas quais não participem o presidente e o vice-presidente.

Numa assembléia de 40 cientistas, 8 são físicos. Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas incluindo no mínimo um físico?

Ora, o número de comissões incluindo no mínimo um físico, significa que as comissões deverão possuir um, ou dois, ou três, ou quatro, ou cinco, ou seis, ou sete, ou oito físicos. Logo, para determinar o número total de comissões, tal qual especificado no enunciado do problema, deveremos retirar do número total de comissões, aquelas nas quais não participam nenhum físico. O cálculo é o seguinte:
Número total de comissões de 5 membros, entre os 40 cientistas = C_40,5
Número total de comissões de 5 membros, entre os 40 - 8 = 32 cientistas restantes (excluindo-se os 8 físicos) = C_32,5
Portanto, o número procurado será igual a: C_40,5 - C_32,5 = 456.632 comissões. (Faça as contas!).

Ordenando de modo crescente as permutações dos algarismos 2, 5, 6, 7 e 8, qual o lugar que ocupará a permutação 68275?

O número 68275 será precedido pelos números das formas:
a) 2xxxx, 5xxxx que dão um total de
4! + 4! = 48 permutações
b) 62xxx, 65xxx, 67xxx que dão um total de 3.3! = 18 permutações
c) 6825x que dá um total de 1! = 1 permutação.
Logo o número 68275 será precedido por 48+18+1 = 67 números. Logo, sua posição será a de número 68.

Sabe-se que o número de maneiras de n pessoas sentarem-se ao redor de uma mesa circular é dado pela fórmula P'n = (n - 1)! . Nestas condições , de quantas maneiras distintas 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, de tal modo que duas determinadas pessoas fiquem sempre acomodadas juntas?

Supondo que as pessoas A e B fiquem sentadas juntas , podemos considerar que os agrupamentos possíveis serão das seguintes formas:
a) (AB)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
b) (BA)XYZWK...........................P'n = (6-1)! = 120
Logo o número total será: 120+120 = 240.

Numa reunião de 7 pessoas há 9 cadeiras. Determine de quantos modos distintos as 7 pessoas podem sentar-se nas 9 cadeiras.

Trata-se de um problema de arranjos simples, cuja solução é encontrada calculando-se
A_9,7 = 9!/(9-7)! = 9!/2! = (9.8.7.6.5.4.3.2!)/2! = 181.440

Poderíamos também resolver aplicando a regra do produto , com o seguinte raciocínio:
A primeira pessoa tinha 9 opções para sentar-se, a segunda, 8 , a terceira,7 , a quarta,6 , a quinta,5 , a sexta, 4 e finalmente a sétima, 3. Logo, o número total de possibilidades será igual a 9.8.7.6.5.4.3 = 181.440

Quantos são os anagramas da palavra UNIVERSAL que começam por consoante e terminam por vogal?

A palavra dada possui 5 consoantes e 4 vogais. Colocando uma das consoantes, por exemplo, N , no início da palavra, podemos dispor em correspondência, cada uma das 4 vogais no final. Eis o esquema correspondente:
(N.............U) (N.............I) (N.............E) (N.............A)

Podemos fazer o mesmo raciocínio para as demais consoantes. Resultam 5.4=20 esquemas do tipo acima. Permutando-se as 7 letras restantes situadas entre a consoante e a vogal, de todos os modos possíveis, obteremos em cada esquema 7! anagramas. O número pedido será pois igual a 20.7! = 20.7.6.5.4.3.2.1 = 100.800.

Numa reunião estão 12 pessoas. Quantas comissões de 3 membros podem ser formadas, com a condição de que uma determinada pessoa A esteja sempre presente e uma determinada pessoa B nunca participe junto com a pessoa A?

Como um dos 3 integrantes é sempre A, resta determinar os dois outros, com a condição de que não seja B. Logo, dos 12, excluindo A(que tem presença garantida) e B (que não pode participar junto com A) restam 10 pessoas que deverão ser agrupadas duas a duas. Portanto, o número procurado é C_10,2 = 10! /(10-2)!.2! = 45.

Numa assembléia há 57 deputados sendo 31 governistas e os demais, oposicionistas. Quantas comissões de 7 deputados podem ser formadas com 4 membros do governo e 3 da oposição?

Escolhidos 3 deputados oposicionistas, com eles podemos formar tantas comissões quantas são as combinações dos 31 deputados do governo tomados 4 a 4 (taxa 4), isto é: C_31,4. Podemos escolher 3 oposicionistas, entre os 26 existentes, de C_26,3 maneiras distintas; portanto o número total de comissões é igual a C_26,3 . C_31,4 = 818.090.000.

Quantas anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

Observe que a palavra ARARA possui 5 letras porém com repetição. Se as 5 letras fossem distintas teríamos 5! = 120 anagramas. Como existem letras repetidas, precisamos "descontar" todas as trocas de posições entre letras iguais. O total de anagramas será portanto igual a P = 5!/(3!.2!) = 10.

É óbvio que podemos também calcular diretamente usando a fórmula de permutações com repetição. Para revisar, clique AQUI. Para RETORNAR, clique em VOLTAR no seu browser.

Quantas soluções inteiras e não negativas podemos encontrar resolvendo a equação x+y+z+w = 5?

Por exemplo, (1,2,1,1) é solução pois 1+2+1+1=5.Anàlogamente, (2,1,1,1), (0,1,2,2), (5,0,0,0) etc são soluções.
Raciocínio: Temos que dividir 5 unidades em 4 partes ordenadas, ou seja, das formas:
|| . | . | .. | . || ou || . | .. | . | . || ou || ... | . | . | || , etc.
Temos então 8 símbolos (5 pontos[.] e 3 traços[ | ] ) que devem ser permutados, porém com repetição. Logo, teremos:
PR = 8! / 5!.3! = 56
Portanto, a equação dada possui 56 soluções inteiras e não negativas.

Outra forma de resolver o problema, seria através da aplicação da fórmula vista em Exercícios de Análise Combinatória III. Clique AQUI para ver. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Onde n é o número de incógnitas e b é o termo independente. No caso, n = 4 e b = 5.
Logo, substituindo, vem:
Y = (4 + 5 -1)! / 5!.(4 - 1)! = 8! / 5! . 3! = 8.7.6.5! / 5!.3.2.1 = 8.7.6 / 3.2.1 = 56

Outros assuntos e outros problemas

Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z2 - 2x = 0, determine x + y + z .

Se x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, então podemos dizer que x, y e z são diretamente proporcionais aos seus inversos multiplicativos, ou seja:
x, y e z são diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5.
Assim, poderemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade direta:
x / (1/10) = y / (1/1) = z / (1/5)
Daí, vem, após efetuarmos as divisões indicadas:
10x = y = 5z

Temos então:
10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5).
10x = y, de onde tiramos: y = 10x

Substituindo os valores acima na expressão dada y - z² - 2x = 0, vem:
10x - (2x)² - 2x = 0
10x - 4x² - 2x = 0
8x - 4x² = 0

Dividindo ambos os membros por 4, vem:
2x - x² = 0
Colocando x em evidencia, vem: x(2 - x) = 0 e, portanto, x = 0 ou x = 2.

Como o enunciado do problema diz que x é positivo, vem que somente o valor x = 2 serve. Ora, se x = 2, então
y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) = 4.
Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4 = 26.

Dividindo 180 por b obtém-se quociente 8 e resto r, sendo b e r dois números naturais. Determine a soma dos possíveis valores de b.

Sabemos da Aritmética, que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo.
No caso, temos:
Dividendo = 180
Divisor = b
Quociente = 8
Resto = r

Podemos escrever:
180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b

E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem:
0 £ 180 - 8b < b

Somando 8b a todos os membros, fica:
8b £ 180 < 9b

Podemos dizer então, que:
8b £ 180 (1)
180 < 9b (2)

Dividindo ambos os membros de (1) por 8, vem: b £ 22,5
Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b
Portanto, 20 < b £ 22,5
Os valores possíveis para b, são: b = 21 e b = 22.
Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a 21 + 22 = 43.

Os pontos A = (2,0) e B = (0,4) são extremos de um diâmetro da circunferência C. Determine a equação da circunferência.

Sendo AB um diâmetro, o ponto médio do segmento AB será o centro da circunferência.
O ponto médio do segmento AB será o ponto P(1, 2), onde a abcissa e a ordenada, são iguais respectivamente à média aritmética das abcissas e das ordenadas dos dois pontos dados, ou seja: x_p = (2 + 0) /2 = 1 e y_p = (0 + 4) /2 = 2.

Para achar o raio da circunferência dada, basta achar a distancia do centro P, a um dos pontos dados. Vamos calcular, por exemplo, a distancia PA:
Sabemos que: PA² = (x_p - x_a)² + (y_p - y_a)²
Visite o capítulo Geometria Analítica I, clicando AQUI.
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Portanto, PA² = R² = (1 - 2)² + (2 - 0)² = 5
Daí, vem que o raio é igual a R = Ö 5, ou R² = 5.
Ora, conhecemos o raio e o centro da circunferência. Logo:
(x - 1)² + (y - 2)² = 5 , que é a equação reduzida da circunferência procurada.
Revise a equação da circunferência, clicando AQUI.
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Desenvolvendo os quadrados dos binômios indicados, encontraremos a equação na forma geral, a saber:
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 5
Simplificando, vem, finalmente:
x² + y² - 2x - 4y = 0, que é a equação procurada.

O número complexo 2 + i é raiz do polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx +15, em que a e b são números reais. Pede-se determinar os valores de a e b e, em seguida, calcular P(i) / (3+i) na forma c + di , sendo c e d números reais.

Ora, se x = 2 + i é raiz de P(x), então:
(2 + i)³ + a(2 + i)² + b(2 + i) + 15 = 0

Desenvolvendo, vem:
2³ + 3.2².i + 3.2.i² + i³ + a(2² + 2.2.i + i²) + b(2 + i) + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + a(4 + 4i -1) + 2b + bi + 15 = 0
8 + 12i - 6 - i + 4 a + 4ai - a + 2b + bi + 15 = 0

Simplificando e ordenando, vem:
(8 - 6 + 4 a - a + 2b + 15) + (12 - 1 + 4 a + b) i = 0
(17 + 3 a + 2b) + (11 + 4 a + b) i = 0 + 0i

Daí, vem:
17 + 3 a + 2b = 0
11 + 4 a +b = 0

Ou,
3 a + 2b = - 17
4 a + b = - 11

Para resolver o sistema de equações acima, multiplicaremos a primeira equação por 4 e a segunda por - 3:
Teremos:
12 a + 8b = - 68
-12 a - 3b = 33

Somando membro a membro - para eliminar a incógnita a - vem:
5b = - 35, de onde conclui-se b = -7.

Portanto, como 4 a + b = - 11, vem, substituindo: 4 a +(-7) = -11, de onde conclui-se:
a = - 1
Logo, a = -1 e b = - 7, responde à primeira parte do exercício.

Portanto, substituindo os valores de a e de b encontrados, o polinômio dado é igual a:
P(x) = x³ - x² - 7x + 15
Falta calcular P(i) / (3+i).
P(i) = i³ - (i)² - 7(i) + 15 = -i + 1 -7i + 15 = 16 - 8i

Portanto,

Paulo Marques, Feira de Santana, 11 de Outubro de 1999.

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