Um paralelepípedo do ITA 96 

As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a 694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm3, é igual a:

a) 1200
b) 936
c) 1155
d) 728
e) 834

SOLUÇÃO

O volume do paralelepípedo será igual V = x.y.z
Temos: x + y + z = 33
A área total St é igual a St = 2(x.y + x.z + y.z) = 694
Portanto, x.y + x.z + y.z = 347 

Obs: área total = soma das áreas das faces laterais do paralelepípedo, que são retangulares.

Como os lados estão em P.A., poderemos escrever:
P.A. : (x, y, z)
O termo médio y (pelas propriedades da PA) vale: y = (x+z)/2
Daí, vem: x + z = 2y 

 Temos então as 3 equações seguintes:
x + y + z = 33 ...................... (4)
xy + xz + yz = 347 .................. (5)
x + z = 2y .......................... (6)

Substituindo (6) em (4), vem: 2y + y = 3y = 33 \ y = 11.
Substituindo o valor de y em (5) e (6), vem:
11x + xz + 11z = 347 ................ (7)
x + z = 22 .......................... (8)

Arrumando a expressão (7), vem : ......... 11(x + z) + xz = 347
Como x + z = 22, substituindo, temos: ........ 11.22 + xz = 347
Daí, vem: xz = 105 .................. (9)
Temos de (8) que: x + z = 22 ........ (10)

Das expressões (9) e (10), concluímos que x e z são dois números que somados dá 22 e multiplicados dá 105.

Como x + z = 22, vem: z = 22 - x
Substituindo na equação (9), fica:
x(22 - x) = 105
22x - x2 = 105
22x - x2 - 105 = 0
Multiplicando ambos os membros por (-1) e ordenando, fica:
x2 - 22x + 105 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obteremos as raízes
x = 15 ou x = 7.

Teremos então:
Para x = 15, vem por substituição em (10) que z = 7.
Substituindo em (6) os valores de x e z, obteremos y = 11.
Portanto, x = 15, y = 11 e z = 7.

Para x = 7, vem por substituição em (10) que z = 15.
Substituindo em (6) os valores de x e z, obteremos y = 11.
Portanto, x = 7, y = 11 e z = 15. 

Logo, as dimensões do paralelepípedo são 7, 11 e 15.

O volume será então: V = 7.11.15 = 1155 cm3

Daí, fica fácil: alternativa C.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 12 de maio de 2001.

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