Sobre bezerras e a Sequência de Fibonacci

UEFS 2005.1 – Suponha-se que toda bezerra se torne adulta aos 2 anos de idade e que, após se tornar adulta, dê uma única cria uma vez a cada ano.

Se um fazendeiro adquirir uma bezerra recém-nascida e, durante os 8 anos seguintes, todos os descendentes da bezerra forem fêmeas e não houver nenhuma morte, então pode-se afirmar que, ao final desse tempo, o total de animais, considerando-se a bezerra e seus descendentes, será igual a

a) 128
b) 64
c) 31
d) 21
e) 13


Nota: UEFS – Universidade Estadual de Feira de Santana


Solução:

Seja B0 , a bezerra inicial, no ano zero.

No ano 1, só existirá a bezerra B0, pois ela só vai procriar no ano 2 (pelo enunciado do problema).
No ano 2 , existirão duas bezerras: B0 e B1, sua cria.
No ano 3, B0 vai gerar mais uma cria B2 . Observe que B1 ainda tem 1 ano e não irá gerar cria.
No ano 4, B0 vai gerar a cria B3 e B1, aos 2 anos vai gerar uma cria B4.
Então, até o ano 4, teremos as seguintes bezerras a cada ano:

Ano 0: B0 (1 bezerra)
Ano 1: B0 (observe que a bezerra B1 só vai procriar aos 2 anos). (1 bezerra até o ano 1)
Ano 2: B0, B1 (2 bezerras)
Ano 3: B0, B1 e B2 – gerada por B1 - (3 bezerras no total, até aqui)
Ano 4: B0, B1, B2, B3 e B4 (5 bezerras)

Logo, até o ano 4 (quinto ano, já que começamos a contar do ano zero) , teremos a seguinte seqüência:
1, 1, 2, 3, 5, ...

Ano 5: Como as bezerras só procriam a partir de 2 anos, podemos concluir que as bezerras em condições de procriar no ano 5 (sexto ano, já que começamos a contar do ano zero) são:

B0 – que vai gerar a sua terceira cria, a bezerra recém-nascida B5.
B1 – que vai gerar a sua segunda cria, a bezerra recém-nascida B6
B2 – que vai gerar sua segunda cria, a bezerra recém-nascida B7

Observe que as bezerras B3 e B4 nasceram no ano 4 e somente vão procriar no ano 6 (após 2 anos, conforme enunciado).

Foram geradas portanto, mais 3 bezerras no ano 5, que somadas as cinco já existentes, resultarão em 8 bezerras no ano 5.

Então, até o ano 5 (sexto ano, já que começamos a contar do ano zero) , teremos a seguinte seqüência:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Das 8 bezerras existentes no ano 5 (sexto ano, já que iniciamos a contagem no ano zero), estarão em condições de procriar, as bezerras B0 , B1, B2, B3 e B4. Observe que as bezerras B5, B6 e B7 nascidas no ano 5, só vão procriar após 2 anos, ou seja no ano 7 (oitavo ano, já que a contagem foi iniciada no ano zero).

Cada uma das bezerras B0 , B1, B2, B3 e B4 , vai gerar mais uma bezerra. Ora, serão geradas então, mais 5 bezerras, que somadas as 8 já existentes, resultarão em 13 bezerras.

Então, até o ano 6 (sétimo ano, já que começamos a contar do ano zero) , teremos a seguinte seqüência:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Observem que a seqüência acima, é uma Seqüência de Fibonacci , na qual, cada termo a partir do segundo, é igual à soma dos 2 termos anteriores, ou seja:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13

Infere-se (deduz-se) daí, que o próximo termo será 8 + 13 = 21, que é a resposta do problema.

A seqüência então, é a seguinte:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21.

Com efeito, no ano 7 (oitavo ano, já que iniciamos a contagem no ano zero), as bezerras em condições de procriar serão: B0, B1, B2, B3, B4, B5, B6 e B7 (8 bezerras). Ou seja, serão geradas 8 bezerras no oitavo ano. Adicionadas às 13 bezerras já existentes, resultará 13+8 = 21 bezerras, que é a resposta do problema proposto. Portanto, alternativa D.

Notas:

1 - acho que esta questão consumiria muito tempo do vestibulando, para a solução. Como em média, são 3 minutos para resolver cada questão, infere-se que:

a) quem conseguiu resolver, gastou muito mais tempo e se prejudicou.
b) quem não conseguiu resolver, provavelmente “chutou” uma resposta e pode até ter acertado a letra certa! O que seria uma ironia do destino!
c) visite o arquivo sobre a Seqüência de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, .. .

2 – Leonardo Fibonacci – matemático italiano – 1170 – 1250.

Agora resolva este:

Suponha-se que toda bezerra se torne adulta aos 2 anos de idade e que, após se tornar adulta, dê uma única cria uma vez a cada ano.

Se um fazendeiro adquirir uma bezerra recém-nascida e, durante os 9 anos seguintes, todos os descendentes da bezerra forem fêmeas e não houver nenhuma morte, então pode-se afirmar que, ao final desse tempo, o total de animais, considerando-se a bezerra e seus descendentes, será igual a

a) 128
b) 64
c) 31
d) 41
e) 34

Resposta: 34


Paulo Marques – Feira de Santana – BA – 19 de fevereiro de 2005. 

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