|
Exercícios resolvidos XXVI - Ocupando salas |
1,83333... < k < 2,0185185...
Como k é inteiro, o único valor que atende à desigualdade acima é k =
2.
Logo, substituindo em n = 1080k + 20, vem finalmente:
n = 1080.2 + 20 = 2160 + 20 = 2180
Portanto, o número de candidatos inscritos foi igual a 2180 e a alternativa
correta é a de letra E.
2) Com base no problema anterior, de quantas formas os candidatos poderão
ser distribuídos nas salas?
A) 2
B) 3
C) 1
D) 4
E) mais de 4
Solução:
Já sabemos que as salas possuem capacidade para 40, 45 e 54 candidatos, com
a condição de que em qualquer situação, após o preenchimento de duas
das salas, a sala restante ficará com apenas 20 candidatos.
Seja x o número de salas com 40 candidatos, y o número de
salas com 45 candidatos e z o número de salas com 54 candidatos. Do
enunciado, poderemos concluir as seguintes igualdades:
I) sala com capacidade para 54 candidatos, com apenas 20 candidatos e as
outras duas salas cheias:
40x + 45y + 20 = 2180 \ 40x + 45y = 2160
II) sala com capacidade para 45 candidatos, com apenas 20 candidatos e as
outras duas salas cheias:
40x + 54z + 20 = 2180 \ 40x + 54z = 2160
III) sala com capacidade para 40 candidatos, com apenas 20 candidatos e as
outras duas salas cheias:
45y + 54z + 20 = 2180 \ 45y + 54z = 2160
Temos então as seguintes equações lineares:
40x + 45y = 2160
40x + 54z = 2160
45y + 54z = 2160
Poderemos escrever as equações lineares acima como:
40x + 45y + 0z = 2160 ( I )
40x + 0y + 54z = 2160 ( II )
0x + 45y + 54z = 2160 ( III )
Temos então, um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas para
resolver.
Vamos resolver o sistema pelo método
de escalonamento , embora pudéssemos também usar a regra
de Cramer.
Substituindo no sistema a equação ( II ) pela subtração (I) – (II),
fica:
40x + 45y = 2160 ( IV )
45y – 54z = 0 ( V )
45y + 54z = 2160 ( VI )
Substituindo a equação ( VI ) pela subtração ( V ) – ( VI), fica:
40x + 45y = 2160 (VII )
45y – 54z = 0 ( VIII )
– 108z = - 2160 ( IX )
Da equação ( IX ) tiramos imediatamente que z = (-2160) / (-108) = 20 \
z = 20 .
Substituindo o valor de z na equação ( VIII ), fica:
45y – 54(20) = 0 \ 45y = 54.20 = 1080 \
y = 1080 / 45 = 24 \ y = 24 .
Substituindo agora o valor de y na equação ( VII ), fica:
40x + 45.24 = 2160 \ 40x = 2160 – 45.24 = 2160
– 1080 = 1080 \ 40x = 1080 e, finalmente vem
que x = 1080 / 40 = 27 \ x = 27 .
Ora, já sabemos dos itens ( I ), ( II ) e ( III ) acima que:
40x + 45y + 20 = 2180
40x + 54z + 20 = 2180
45y + 54z + 20 = 2180
e que x = 27, y = 24 e z = 20.
Portanto, as distribuições possíveis dos 2180 candidatos serão:
1ª) 27 salas com 40 candidatos, 24 salas com 45 candidatos e uma sala com
20 candidatos, perfazendo o total de 27.40 + 24.45 + 20 = 1080 + 1080 + 20 =
2180 candidatos.
2ª) 27 salas com 40 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e uma sala com
20 candidatos, perfazendo o total de 27.40 + 20.54 + 20 = 1080 + 1080 + 20 =
2180 candidatos.
3ª) 24 salas com 45 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e uma sala com
20 candidatos, perfazendo o total de 24.45 + 20.54 + 20 = 1080 + 1080 + 20 =
2180 candidatos.
Logo, existem três formas distintas de acomodação dos 2180 candidatos
entre as salas, o que nos leva tranqüilamente à alternativa B.
3) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo
de salas necessário para acomodar todos os candidatos?
Solução:
Como vimos na questão anterior, teremos as seguintes composições
possíveis:
1ª) 27 salas + 24 salas + 1 sala = 52 salas
2ª) 27 salas + 20 salas + 1 sala = 48 salas
3ª) 24 salas + 20 salas + 1 sala = 45 salas
Portanto, o número mínimo de salas necessário será igual a 45.
Observe que neste caso, os candidatos poderão ser acomodados de uma única
maneira ou seja: 24 salas com 45 candidatos, 20 salas com 54 candidatos e
uma sala com 20 candidatos.
4) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo
de salas necessário para acomodar todos os candidatos de todas as maneiras
possíveis?
Solução:
Observe atentamente que neste caso, o número mínimo de salas necessário
será igual a 52, pois se existissem apenas 45 salas, a acomodação
segundo a 1ª composição (veja acima), não seria possível.
Agora resolva estes:
1 - Para a realização de um concurso seletivo, foram inscritos entre 800 e
1300 candidatos. Sabe-se que, se eles forem distribuídos em salas com
capacidades para 40, 50 ou 60 candidatos cada uma, sempre haverá uma sala
com apenas 20 candidatos.
Com base nestas informações, pode-se concluir que o número de inscritos
foi igual a:
a) 1220
b) 1260
c) 860
d) 920
e) 1160
Resposta: alternativa A
2 – Em relação ao exercício anterior, determine todas as composições
possíveis para acomodação dos candidatos nas salas.
Resposta: Os candidatos poderão ser distribuídos das seguintes formas:
1ª) 15 salas com 40 candidatos, 12 salas com 50 candidatos e uma sala com
20 candidatos.
2ª) 15 salas com 40 candidatos, 10 salas com 60 candidatos e uma sala com
20 candidatos.
3ª) 12 salas com 50 candidatos, 10 salas com 60 candidatos e uma sala com
20 candidatos.
3) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo
de salas necessário para acomodar todos os candidatos?
Resposta: 23 salas
4) Ainda em relação ao enunciado da questão 1, qual o número mínimo
de salas necessário para acomodar todos os candidatos de todas as maneiras
possíveis?
Resposta: 28 salas
Paulo Marques, Feira de Santana – BA , 09 de outubro
de 2003.
Nota: Dedico esta página a um dos meus três
filhos – Rafael Carvalho Marques – que hoje completou 17 anos. Parabéns
Rafa ! Desejo-lhe toda a felicidade do mundo!.