Vestibulares do Passado III
1 – Instituto Tecnológico da Aeronáutica – ITA 1953
1.1 – Qual é a soma da série 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ?
Solução:
Enxergamos imediatamente que a série representa a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão q = 1/2. Teremos então: Soma = S = 1 / (1 – 1/2) = 2.
Portanto, a soma S dos termos da série é igual a 2. Em caso de dúvida, reveja o capítulo de PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.1.2 – Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos quadrados Q2, Q3, Q4, ... , Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior, Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, Q4, ... , Qn.
Solução:
Desenhe você mesmo a figura indicada no enunciado (é uma forma segura de saber se você está realmente estudando, ou apenas lendo os arquivos! Um pouco de trabalho, ajuda e não fará mal a ninguém, inclusive a você! ) Perceba que:
A medida do lado do quadrado Q2 sendo L2 , teremos:
L22 = (a/2)2 + (a/2)2 Þ L22 = a2/2
Observe no seu desenho, que L2 é a hipotenusa de um triângulo retângulo de lados medindo a/2, e portanto pode-se aplicar o teorema de Pitágoras, e foi isto o que fizemos acima).
Observe que, sendo a área de um quadrado igual ao quadrado da medida do lado, teremos então que L22 = ÁREA DO SEGUNDO QUADRADO = a2/2.
Prosseguindo com o raciocínio, será fácil perceber que as áreas S1, S2, S3, S4, ... Sn , formarão uma PG – Progressão Geométrica.
Primeiro termo da PG = área do quadrado Q1 = a2
(pois o lado de Q1 é igual a a )Segundo termo da PG = área do quadrado Q2 = L22 = a2/2 (resultado obtido acima).
Portanto, a razão da PG decrescente e ilimitada será igual a q = (a2/2)/a2 = 1/2.
Daí, será fácil concluir que a soma das áreas pedida será igual a:
Sa = a2 / (1 – 1/2) = a2/(1/2) = 2.a2Resp: a soma do número infinito de quadrados do problema é igual a 2a2, onde a é a medida do quadrado inicial, conforme enunciado do problema.
Paulo Marques, Feira de Santana - BA