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Percentualmente falando de estudantes brasileiros e brasileiras |
Do universo dos estudantes brasileiros em 2004, suponha que 60% seja do sexo masculino. Admitindo-se que a taxa de crescimento do número de estudantes do sexo feminino seja igual a 20% ao ano e a do sexo masculino 10% ao ano, determine a percentagem aproximada de estudantes do sexo feminino no ano 2006.
Solução: Seja P o conjunto de todos os estudantes brasileiros no ano 2004, F o conjunto de estudantes do sexo feminino e H o conjunto dos estudantes do sexo masculino.
Evidentemente que F Ç H = Æ e F È H = P. Nestas condições, no ano de 2004 temos:
H = 60%.P = 0,60.P
F = 40%.P = 0,40.P
Pelo enunciado, o conjunto H cresce à taxa de 10% ao ano e, portanto, em 2006 teremos: H2006 = 0,60P.(1,10).(1,10) = 0,60.P.(1,10)2 = 0,60.1,21.P = 0,726.P
Observação: de 2004 para 2005, crescimento de 10% e de 2005 para 2006, crescimento de mais 10%, daí as multiplicações duas vezes por 1,10.
Analogamente, teremos para o conjunto F em 2006, considerando-se uma taxa de crescimento de 20% ao ano:
F2006 = 0,40P.(1,20).(1,20) = 0,40.P.(1,20)2 = 0,40.1,44.P = 0,576.P
Portanto, em 2006, o total será:
H2006 + F2006 = 0,726.P + 0,576.P = 1,302.P Como a população feminina em 2006 é igual a 0,576P, teremos que a porcentagem correspondente será dada por (0,576P/1,302P).100 = 0,4424.100 = 44,24% , que é a resposta procurada. Observação: a multiplicação por 100 é para obter o resultado diretamente em %. Notas:
1) x % = x/100 2) de uma forma genérica, conhecendo-se uma população inicial P0 que cresce a uma taxa anual de i %, então a população Pn no ano n será dada por Pn = P0(1 + i)n .
Exemplos:
E1 - Se a população de uma cidade em 2004 é de 500000 habitantes, qual a população estimada em 2007, supondo-se uma taxa de crescimento anual de 10%? Solução:
P2007 = P2004(1 + 10%)3 = P2004(1 + 10/100)3 = 500000.(1,10)3 = 665500 habitantes.
E2 – Se a taxa de crescimento de uma determinada população é de 8% ao ano, determine o tempo necessário para que esta população seja triplicada. Solução: Seja P0 a população atual. O problema quer saber quando a população será igual a 3.P0. Teremos então:
3.P0 = P0(1 + 8%)n = (1 + 8/100)n = P0(1,08)n
Cancelando o termo comum P0, fica: 3 = 1,08n . Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
log 3 = log (1,08)n ou log 3 = n . log 1,08.
Nota: Neste tipo de problema, os logaritmos necessários à resolução são sempre informados no enunciado.
No caso, log 3 = 0,4771 e log 1,08 = 0,0334 (valores aproximados obtidos numa calculadora científica (a do Windows serve)). Substituindo, vem finalmente:
0,4771 = n . 0,0334 e, portanto, n = 0,4771/0,0334 @ 14,3 anos.
Agora resolva estes: 1) Do universo dos estudantes brasileiros em 2004, suponha que 40% seja do sexo masculino. Admitindo-se que a taxa de crescimento do número de estudantes do sexo feminino seja igual a 20% ao ano e a do sexo masculino 15% ao ano, determine a percentagem aproximada de estudantes do sexo masculino no ano 2006. A) 37%
B) 38%
C) 39%
D) 40%
E) 36% Resposta: B
2) Se a taxa de crescimento de uma determinada população é de 5% ao ano, determine o tempo aproximado necessário para que esta população seja duplicada. Dados: log 2 = 0,3010 e log 1,05 = 0,0212
A) 14,2 anos
B) 15,3 anos
C) 10,4 anos
D) 16,3 anos
E) 20,6 anos Resposta: A
Paulo Marques, 25 de janeiro de 2004 – Feira de Santana - BA ampliado e revisado em 07/10/2007.
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